LUMA Sanomat

- luonnontieteiden, matematiikan ja teknologian iloa kaikille

Artikkelit ›

Ehdotus uudeksi matematiikan opetussuunnitelmaksi

Matematiikassa uusi opittava asia pohjautuu aina aikaisemmin opittuun ja harjoiteltuun tietoon ja taitoon. Siksi opetuksessa on alati pohjustettava seuraavan asiakokonaisuuden vaatimia matemaattisia käsitteitä. Tutustu lehtori Heikki Pokelan opetussuunnitelmaehdotukseen ja kommentoi.

Kalle Väisälä toteaa algebran oppikoulukirjan esipuheessa (tässä lyhennettynä): “Perustelin suhteellisen laajan differentiaali- ja integraalilaskentaa koskevan esityksen sisällyttämistä seuraavasti: ‘Olen halunnut täten valmistaa matematiikkaa harrastaville oppilaille tilaisuuden tutustua näihin kiintoisiin ja muuta matematiikkaa syventäviin sekä – jatko-opintoja silmällä pitäen – hyödyllisiin asioihin.’ “

Itse asiassa Väisälä aloitti analyysissä tarvittavien asioiden opettamisen jo ennen oppikoulun lukioluokkia; erotusosamääriin liittyviä sievennystehtäviä löytyy hänen suunnittelemistaan keskikoulukirjoista.

Mielestäni uudessa opetussuunnitelmassa tulisi palauttaa Väisälän näkemysten mukainen opetus, joka mahdollistaa oppilaille avainkäsitteiden omaksumisen ja -rutiinien muodostumisen pitkän ajan kuluessa.

Pohjustettavia rutiineja ovat mielestäni ainakin:

1. Rationaalilausekkeet.

2. Integrointitekniikka. Muutamassa viikossa opetettu integrointitekniikka aiheuttaa suurimmalle osalle opiskelijoista ongelmia: esimerkiksi sisäfunktion derivaatta yhdistetyn funktion integroinissa jää usein melko hämäräksi asiaksi.

3. Parametrisointi ja napakoordinaatisto. Alkeistasolla parametrisointi voidaan mieltää samaksi kuin uuden muuttujan sijoittaminen.

4. Trigonometristen funktioiden esittely yksikköympyrän avulla on opetettava mahdollisimman aikaisin. Kulman käyttö muuttujana trigonometrisissa funktioissa vaatii pitkäaikaista harjoittelua. Trigonometristen identiteettien harjoittelua on sisällytettävä useampaan kurssiin. Myös napakoordinaatiston ymmärtämiselle jää liian vähän aikaa, jos yksikköympyrää ei esitetä viimeistään kolmannen lukiokurssin alkupuolella.

5. Polynomilaskenta on syytä aloittaa jo seitsemännen luokan syksyllä yhdistelemällä samanmuotoisia termejä. Seitsemännen luokan keväällä käydään ensimmäisen asteen yhtälö- ja binomikaava alustavasti.

6. Koulumatematiikassa kahden keskeisimmän todistustekniikan, algebrallisen lausekkeen neliön ei-negatiivisuuden ja induktion, harjoittelu ja käyttö.

7. Kahden muuttujan funktion z = f(x,y) kuvaajien hahmottaminen yksinkertaisissa tapauksissa tulisi aloittaa jo lukion ensimmäisenä vuonna, jotta toisena vuonna kurseilla MA7 ja MA8 voitaisiin ko. kuvaajiin tutustua lisää ja perehtyä riittävän yksinkertaisten kahden muuttujan funktioiden tutkimiseen analyysin keinoin sekä tangenttitasoon. Siten kurssin MA13 osasisältönä tämän kertaus ja syventäminen antaisi hyvät valmiudet jatko-opintojen ensimmäisenä vuonna mieltää esimerkiksi ominaisarvoteoriaan pohjautuvan yleisten toisen asteen pintojen pääakselikoordinaattien haun. Jos kahden muuttujan funktiot koetaan liian raskaiksi käsitellä lukion toisena vuotena, siirretään niiden esitys kokonaisuudessaan kurssille MA13. Osittaisderivaatan ymmärtäminen on kuitenkin olennainen asia jo lukiossa.

Kurssikohtainen OPS-ehdotus

Koska suomalaisen koulujärjestelmän kipupisteet ovat erityisesti matematiikan yläkoulun ja lukion oppisisällöissä, keskityn ehdotuksessani niihin. Yleisesti matematiikan opetuksessa tulisi valaista tieteenalan historiaa ja merkitystä sekä uusien teorioiden esittelyn yhteydessä että tehtävänannoin.

Seuraava OPS-ehdotus on yksi näkemys matematiikan oppisisällöistä sille osalle ikäluokkaa, jonka kiinnostus, kyvyt ja pitkäjänteisyys riittävät useiden vuosien työntekoon. Lopputuloksena pitäisi syntyä todellinen korkeakoulukelpoisuus, eli kyky aloittaa matemaattisluonnontieteellis-teknillistieteelliset opinnot.

Muulle osalle ikäluokkaa nykyisestä hieman kevennetty, laskentopuolta korostava versio OPSista toimisi parhaiten.

ALAKOULUN 6. LUOKKAAN MENNESSÄ:

Tässä esitetyt kohdat eivät kata koko alakoulun matematiikan kokonaisuutta, vaan ne on mainittu tässä siksi, että niiden osaaminen on erityisen tärkeää jatkon kannalta.

  • Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku sekä kertominen ja jakaminen.
  • Osittamisen, eli jakamisen ymmärtäminen: esimerkiksi jakolasku 1/2 jaettuna 1/4:lla tarkoittaa, kuinka monta neljäsosaa mahtuu yhteen kahdesosaan. Tässä kohden olisi syytä kirjata velvoite havaintovälineiden käyttöön murtolukujen opetuksessa.
  • Desimaalilukujen ja murtolukujen muuttaminen toisikseen.
  • Prosenttilaskentaa.
  • Muuttujan esittely.
  • Päättelyin ratkaistavia yhtälöitä kuten esimerkiksi x + 15 = 22, 12 – x = 3 ja 5 + 2x = 11.

7. LUOKKA:

  • Sulkulausekkeiden käsittely.
  • Polynomilaskennan alkeet.
  • Ensimmäisen asteen yhtälö vaakakuppimallilla ja sen jälkeen termien siirrolla yhtälön puolelta toiselle.
  • Binomikaava alustavasti.
  • Suoran piirtäminen annetusta funktiosta.
  • Itseisarvon määritelmä etäisyytenä origosta.
  • Valtakunnalliset tasokokeet, joilla aloitetaan eriyttävä opetus joko luokan sisäisesti tai erillisissä tasoryhmissä.

8. LUOKKA:

  • Polynomilaskennan vahvistaminen.
  • Yksinkertaisia rationaalilausekkeita.
  • Yhteisen tekijän hakeminen ja supistaminen.
  • Prosenttilaskentaa polynomiyhtälöiden avulla.
  • Suoran yhtälön muodostaminen ja yhtälön osien (kulmakerroin, vakio) ymmärtäminen.
  • Suorien leikkauspisteet geometrisesti ja algebrallisesti.
  • Kolmion kulmien summan todistaminen.
  • Tutustuminen geometrian perusväittämiin: yhdenmuotoisuuden alkeet lähtien karttamittakaavasta tms.
  • Funktion käsitteen syventäminen: määrittelyjoukko ja arvojoukko.
  • Ensimmäisen asteen epäyhtälöitä.
  • Vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku.
  • Trigonometrian alkeet suorakulmaisen kolmion avulla: sini, kosini ja tangentti.
  • Trigonometristen funktioiden riippumattomuus mittakaavasta.
  • Luonnollisten lukujen jakaminen tekijöihin.
  • Jaollisuus luvuilla 2, 3, 5 ja 9.
  • Parillisuuden ja parittomuuden ominaisuuksia.
  • Valtakunnalliset tasokokeet, joilla aloitetaan eriyttävä opetus tasoryhmissä. Erillinen OPS jokaiselle ryhmälle.

9. LUOKKA:

  • Algebrallisten lausekkeiden käsittelyä (ml. neliöjuurilausekkeet ja lausekkeilla laventaminen ja supistaminen).
  • Binomikaavojen ja neliöksitäydentämisen harjoittelua.
  • Funktio ja sen käänteisfunktio yksinkertaisille ensimmäisen asteen polynomifunktioille.
  • Käänteistoimituksen havainnollistaminen peilauksena suoran y=x suhteen.
  • Ympyrän kehäkulmalauseet.
  • Tasogeometrian todistuksia soveltuvin osin (mm. kolmion merkillisiä pisteitä ja Pythagoraan lause).
  • Paraabelin yhtälö ja kuvaaja.
  • Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen tulomuodosta.
  • Polynomin jakaminen jakokulmassa.
  • Yhtälöryhmien ratkaiseminen.
  • Neliöjuurilausekkeiden sieventäminen.
  • Ensimmäisen asteen epäyhtälöiden kertaus.
  • Itseisarvoyhtälöitä.
  • Potenssisääntöjen kertaus ja negatiivinen eksponentti.
  • Yksinkertaisia juuriyhtälöitä.
  • Vektoreiden laskutoimituksia.
  • Vektorin projektio suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla.
  • Induktiotodistuksen hahmottaminen yksinkertaisilla jonomalleilla.
  • Luonnollisten lukujen suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen jaettava.

LUKION PITKÄ MATEMATIIKKA:

MA1 Funktioita ja yhtälöitä:

  • Lukualueet ja laskutoimitukset.
  • Erilaisten lukujärjestelmien esittelyä, esimerkiksi 2-, 7- ja 12-kantaiset järjestelmät.
  • Peruslaskutoimitukset ja jakokulma eri lukujärjestelmissä.
  • Lineaariset funktiot.
  • Suoran yhtälön kertaus muodoista y = kx + b ja (y – y_o) = k(x – x_o).
  • Käänteisfunktion idea peilauksena suoran y = x suhteen ja algebrallisesti.
  • Suoran yhtälö parametrin avulla (esim. y = 2t + 3, x = t – 1).
  • Juuri ja murtolukueksponentti.
  • Eksponentti- ja logaritmifunktioiden alkeet.
  • Eksponentti ja logaritmifunktiot toistensa käänteisfunktioina geometrisella perustelulla.
  • Peruskoulussa opittujen binomikaavojen kertaus.
  • Yhtälöryhmien kertausta.
  • Yhtälöparin ja -ryhmän muodostaminen.
  • Itseisarvoyhtälöitä.
  • Juuriyhtälöitä.
  • Epäyhtälöitä.
  • Induktiotodistuksen alkeet.
  • Newtonin binomikaava.

MA2 Polynomialgebraa:

  • Toisen asteen lausekkeiden ominaisuuksia, esimerkiksi ääriarvon haku neliöksi täydentämällä.
  • Toisen asteen yhtälön ratkaisu neliöksi täydentämällä.
  • Toisen asteen polynomin nollakohtien ja jaollisuuden välinen yhteys.
  • Juurten summan ja tulon yhteys jaollisuuteen.
  • Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.
  • Paraabelin yhtälö parametrin avulla.
  • Toisen asteen epäyhtälöitä.
  • Korkeamman asteen yhtälöitä ja epäyhtälöitä.
  • N-asteisen polynomin tekijä (x – x_o), missä x_o on nollakohta.
  • Edelliseen induktiotodistus, eli että (a – b) voidaan ottaa aina tekijäksi lausekkeesta (a^n – b^n).
  • Aritmeettinen ja geometrinen summa.
  • Toisen ja korkeamman asteen murtoepäyhtälöitä.
  • Sijoittamalla yhtälön palauttaminen toisen asteen yhtälöksi.
  • Uuden muuttujan sijoittamisen merkitys sievennyksissä.
  • Polynomien jakamisen jakokulmassa kertaus.
  • Syventävänä asiana korkeamman asteen polynomien nollakohtien, juurien summien ja tulon yhteys polynomin tekijöihin (Vietan kaava soveltuvin osin).
  • Yhtälön iteratiivinen ratkaisu haarukoimalla.

Kurssit MA3–MA5 käsittelevät geometrian kolmea osa-aluetta: vektoreita, (taso- ja avaruus)geometriaa ja analyyttistä geometriaa. Näiden aihepiirien keskinäinen järjestys on ikivanha ongelma, sillä jokaista niistä voidaan käyttää apuna toistensa ymmärtämiseen.

Tässä ehdotuksessa avaruusgeometriaa ja avaruuden vektoreita käsitellään omalla kurssillaan ennen kartioleikkauksia, jotta riittävän monessa kurssissa saataisiin aikaa harjoitella napakoordinaatiston käyttöä ennen sen soveltamista analyyttisen geometrian kartioleikkauksiin. Kurssijärjestys voisi olla tässä kohtaa myös toisinpäin. Koska vektoreita ja geometriaa opetetaan molempia tämän OPS-ehdotuksen mukaan alustavasti yläkoulussa, se mahdollistaa helpommin edellä mainittujen kolmen osa-alueen käsittelyn yhdessä kokonaisuudessa lukiokursseilla.

MA3 Kolmion ja muiden monikulmien geometriaa:

  • Tasogeometrian keskeisimpien väitteiden todistaminen (mm. kolmion merkilliset pisteet, pisteen potenssi, Ptolemaioksen, Thalesin ja Menelaoksen lauseet).
  • Kolmion ja ympyrän ominaisuuksien käyttö geometrisissa todistuksissa.
  • Induktiotodistuksia: esimerkiksi monikulmioiden kulmien summa.
  • Trigonometriset funktiot yksikköympyrän avulla.
  • Radiaanin käsite.
  • Sinilause ja kosinilause.
  • Vektoreiden skalaaritulo ja käyttö soveltuvien tasogeometrian ominaisuuksien osoittamisessa.
  • Paikan ilmoittaminen koordinaatistossa etäisyyden ja kulman avulla.

MA4 Avaruusgeometriaa:

  • Avaruusgeometriaa.
  • Kappaleiden yhdenmuotoisuus.
  • Avaruusvektorit.
  • Normaalivektori skalaaritulon avulla (oppimateriaaleissa tulee olla syventävänä materiaalina normaalivektori vektoritulon avulla).
  • Tason yhtälö.
  • Tason ja avaruuden suoran yhtälö suuntavektoreiden avulla.
  • Tasojen ja suorien leikkauspisteitä ja etäisyyksiä.
  • Avaruuden suoran eri esitysmuotoja, mm. kahden tason leikkauksena jne.
  • Vektorifunktion alkeet karteesisessa- ja napakoordinaatistossa parametrin
    avulla.
  • Radiaanin käyttö.
  • Kartioleikkausten napakoordinaatistoyhtälöiden harjoittelua “kokeellisesti” ilman kyseisten käyrien esittelyä.

MA5 Ympyrän ja muiden kartioleikkausten geometriaa:

  • Itseisarvoyhtälöitä ja epäyhtälöitä.
  • Napakoordinaatiston käytön varmentaminen.
  • Vektoriopin käyttö analyyttisessa geometriassa.
  • Kartioleikkausten esittely.
  • Kartioleikkausten yhtälöt polttopisteen, johtosuoran ja eksentrisyyden avulla.
  • Kartioleikkausten uraominaisuuksien avulla niiden yhtälöiden johtaminen karteesiseen koordinaatistoon.
  • Yhtälöryhmien ja tasojen yhteys.
  • Pallo ja pinta z = f(x,y) koordinaatistossa.

MA6 Todennäköisyyslaskentaa:

Sisältää vanhan OPSin logiikan, joukko-oppia, kombinatoriikkaa ja diskreettejä satunnaismuuttujia. Jatkuva jakauma siirretään kurssiin 10 integraalien opettelun jälkeen.

MA7 Differentiaalilaskentaa:

  • Erotusosamäärän raja-arvo.
  • Derivaatta myös differentiaalien osamääränä dy/dx.
  • Polynomin derivaatta ja derivoinnin käänteistoimitus.
  • Väliarvolause geometrisesti perusteltuna.
  • Alkeisfunktioiden derivaattojen yhteydessä harjoitellaan myös käänteistoimitusta, eli integraalifunktion hakua yksinkertaisissa tapauksissa.
  • Derivaatan sovelluksia muutosnopeutena, funktion tangenttina ja ääriarvoissa.
  • Kahden muuttujan funktion tutkimista.
  • Käyrän tangentin sovelluksena nollakohtien iteratiivinen ratkaisu Newtonin menetelmällä.

MA8 Differentiaali- ja integraalilaskentaa:

  • Juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivointi ja integrointi.
  • Yhdistetyn funktion derivoimissääntö.
  • Osittaisintegrointi.
  • Parametrisen derivaatan dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) ymmärtäminen.
  • Parametrisoitujen käyrien ominaisuuksia analyysin avulla tutkittuna.
  • Käänteisfunktioiden teoriaa.
  • Hyperbolisten funktioiden määritelmä, kuvaajat ja derivaatat sekä integraalifunktio.
  • Osittaisderivaatta ja pintojen tangenttitaso.

MA9 Trigonometriset funktiot:

  • Trigonometriset funktiot, niiden derivaatta- ja integraalifunktiot ja niiden käänteisfunktioiden esittely.
  • Trigonometristen funktioiden summa- ja erotuslausekkeiden johtaminen esimerkiksi napakoordinaatiston kantavektoreiden kierrolla.
  • Trigonometrisia yhtälöitä.
  • Skalaarimuuttujan vektoriarvoisen funktion derivaatta.
  • Napakoordinaatiston kantavektoreiden yhteys toisiinsa derivoinnissa.

MA10 Integraalilaskentaa:

  • Määrätty integraali ja sen yhteys integraalifunktioon.
  • Pinta- ja tilavuusalkioiden muodostaminen karteesisessa- ja napakoordinaatistossa määrättyä integraalia varten.
  • Integrointi sijoituksen ja osamurtojen avulla.
  • Integraalifunktion ominaisuuksia itseisarvojen ja paloittain määriteltyjen funktioiden tapauksessa.
  • Erilaisten kappaleiden, kuten esimerkiksi kartioiden ja pallokalottien tilavuuksien ja pinta-alojen laskeminen.
  • Numeerisia menetelmiä pinta-alan laskemiseen kuten puolisuunnikas ja Simpson.
  • Jatkuva jakauma.

Valtakunnallisia syventäviä kursseja:

MA11 Lukuteoriaa:

Kuten nykyään, mutta aikaa käytetään kokonainen kurssi. Suositellaan lukion ensimmäiselle vuodelle. Syventävänä aineistona voidaan käyttää vanhoja matematiikkakilpailujen lukuteoriatehtäviä ja valmennuksessa käytettyjä materiaaleja.

  • Induktion käyttö mm. jaollisuuden tarkastelussa.
  • Newtonin binomikaavan todistus induktiolla.
  • Ryhmäteorian alkeet lähtien kertolaskuilla jäännösluokissa.
  • Fermat’in ja Eulerin lauseet.
  • Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö.

MA12 Lukujonot ja sarjat:

Melkein kuten vanhan (1994) OPSin vastaava kurssi.

  • Raja-arvon määritelmä delta/epsilonmenetelmällä.
  • Analyysin keinoin tarkastellaan sarjojen suppenemisominaisuuksia.
  • Geometrisen sarjan raja-arvo.
  • Suppenemistestejä: integraali-, juuri- ja suhdetesti, majorantin/minorantin
    lisäksi.
  • Induktiotodistuksen kertaus lausekkeiden jaollisuuden tutkimisessa (MA11 kurssilta).
  • Induktiotodistuksen käyttö lukujonojen ja sarjojen ominaisuuksien tutkimisessa.
  • Neperin luvun raja-arvon tarkastelua.
  • Epäolennaisia integraaleja.
  • Alkeisfunktioiden sarjakehitelmien esittely.

MA13 Analyysin jatkokurssi:

  • Syklometriset ja hyperboliset funktiot integroinnissa.
  • Separoituvat ja lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sovelluksineen.
  • Eksponentiaalinen ja logistinen muutos.
  • Syventävänä aiheena toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö yksinkertaisimmassa erikoistapauksessa.
  • Usean muuttujan funktioiden kertausta: osittaisderivaatta ja usean muuttujan funktioiden ääriarvoja. (Jos usean muuttujan funktioita ei ole käsitelty aiemmilla kursseilla, ne opiskellaan tässä uutena asiana.)
  • Kompleksiluvut.
  • Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys, potenssi ja juuri.
  • Syventävänä aiheena kompleksinen logaritmi, eksponenttifunktio ja kompleksisten trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden yhteys.

Kurssin MA13 opetukseen käytettävä aika tuskin riittää kattavasti jokaiseen aihealueeseen, joten tässä kohden opettajan on valittava, paljonko käyttää oppitunteja kompleksilukuihin.

MA14 Kertaus:

Sopivia sisältöjä kertaukseen olisivat mm. seuraavat:

  • Lausekkeiden vertailu toisiinsa.
  • Liittolausekkeella laventamisen idean kertaus mm. raja-arvotehtävissä.
  • Tasogeometrian yhteydessä kolmion Eulerin suora (kts. yo 1923K/7) ja kolmion ominaisuuksia kokoava Cevan lause.
  • Logaritmien kantalukujen muutoksia vaativia yhtälöitä/epäyhtälöitä.
  • Todennäköisyyden ja ääriarvotehtävien yhdistelmiä (maksimoi tai minimoi todennäköisyys tai odotusarvo).
  • Avaruusgeometristen väittämien todistaminen vektoriopilla.
  • Lukujonoja, sarjoja ja lukuteoriaa sekä trigonometriaa yhdistäviä tehtäviä, esimerkiksi integraali sin(mx)cos(nx)-tyyppisiä tietyllä välillä ortogonaalisia integraaleja. Tällöin kertaantuvat trigonometriset integraalit/derivaatat, osittaisintegrointi, lukujonot, rekursio ja induktio yhdessä.

Lisäksi oppilaille ja opiskelijoille voisi tarjota opintojen eri vaiheissa itseopiskelumateriaaleja, jotka sisältäisivät esimerkiksi seuraavia aihelaueita:

  • Katsauksia Egyptin, Babylonian, Kreikan, Intian ja intiaanikulttuurien matematiikkaan.
  • Suomalaisen matematiikan tutkimuksen historiaa.
  • Matematiikka suomalaisessa koulujärjestelmässä tsaarinajalta nykypäivään.
  • Arkhimedeen, Apolloniuksen, Keplerin, Newtonin ja Gaussin keksintöjen merkitys.
  • Katsauksia eri maiden järjestämien matematiikkakilpailujen geometrian tehtäviin eri aikakausilta.

Olisi mielenkiintoista ulottaa OPS-tarkastelu myös korkeakoulun puolelle esimerkiksi yhden jatkokoulutusalan muodossa, eli miten siinä matematiikan opinnot lähtevät rakentumaan ensimmäisten kahden lukuvuoden aikana.

Lopuksi toivoisin paitsi runsasta keskustelua myös mahdollisimman suurta avoimuutta tulevien opetussuunnitelmien laadintaan. Parhaimmillaan asiasta käytävä julkinen keskustelu – johon näillä LUMA-Sanomienkin sivuilla on osallistunut aktiivisesti matematiikan opetuksen valtakunnantason ammattilaisia – voisi toimia pohjana OPSin laadinnassa.

Teksti: Heikki Pokela, lehtori, Tapiolan lukio. Kuva: Sakari Tolppanen.

Julkaistu: 17.01.2012

 

Keskustelua aiheesta

Päivi Koskinen • 17.1.2012 16:04 • #

Kaipailin kovasti lukion lyhyen matematiikan kursseista kommenttia ja samoin jonkinlaista nivelkurssia yläkoulusta lukioon.

Jussi Nieminen • 19.1.2012 12:46 • #

Heikki Pokelan ehdotus on mielestäni kovin kunnianhimoinen koulumaailman realiteetteihin nähden. Se saattaisi sopia joihinkin matematiikkapainotteisiin peruskouluihin ja lukioihin, mutta on valtakunnalliseksi OPSksi minusta aivan liian laaja. Erityisesti lukion kurssien sisältöjä on ehdotuksessa merkittävästi enemmän kuin Väisälän oppikirjassa aikoinaan, johon ehdotuksessa viitataan. Jo nykyäänkin lukiossa opiskellaan vektoreita ja todennäköisyyslaskentaa, joita Väisälän aikana ei lukiokursseihin sisältynyt. Uusien sisältöjen kuten napakoordinaattien ja kahden muuttujan funktioiden lisääminen pakollisten kurssien sisältöihin pahentaisi kiirettä kursseilla entisestään. Ovatko nämä todella välttämättömiä pohjatietoja korkeakouluopintoihin? Eikö olisi parempi käyttää tämä aika nykyisten sisältöjen kunnolliseen harjoitteluun?

Esityksessä on toki myös kohtia, joita pidän hyvinä. Esimerkiksi perusgeometrian ja vektoreiden opiskelu useamman kurssin aikana, kuten vielä vuoden 1985 OPSissa tehtiin, olisi parannus nykyiseen tilanteeseen. Samoin ajatus yksinkertaisten integraalifunktioiden päättelyn tuomisesta jo derivaattakursseille on minusta ihan mielenkiintoinen.

Maailma on muuttunut aika paljon Väisälän ajoista. Oppilaat ovat netti- ja kännykkäaikakaudella entistä lyhytjänteisempiä. Pelkään pahoin, että oppisisältöjen runsaat lisäykset sekä peruskoulussa että lukiossa kääntyisivät enemmänkin itseään vastaan. Harva lahjakaskaan koululainen on niin innostunut matematiikasta, että on valmis käyttämään sen opiskeluun peruskoulusta alkaen monta tuntia joka päivä. Moni käyttää vapaa-aikaansa paljon mieluummin ihan muihin asioihin. Miten kävisi esimerkiksi ammattikorkeakoulujen insinöörilinjojen opiskeljamäärien, jos pitkän matematiikan suorittaneiden määrä putoasi liian raskaaksi koetun oppimäärän takia puoleen nykyisestä?

markku halmetoja • 19.1.2012 14:10 • #

Esitys tosiaan näyttää lukion osalta hieman raskaalta, mutta sitä arvioitaessa täytyy muistaa lähtöoletukset. Ajatuksena on, että lukiossa ei aloiteta tyhjästä, vaan opiskelu on eriytetty yläkoulussa, ja lukiossa pitkää matematiikkaa jatkavat ovat jo aloittaneet tähän liittyvän työn toisin kuin tänä päivänä. Täytyy myös huomata, että Heikki ei ole tarkoittanut esitystään sellaisenaan valmiiksi opsiksi, vaan kyseessä on keskustelun avaus. Parhaimmillaan, kun sitä asiallisesti ruoditaan, tuloksena saattaa olla varsin pätevä esitys tulevaksi opsiksi. Mutta se edellyttää keskustelijoilta malttia ja pureutumista asiakysymyksiin. Ehdotankin, että tätä käytäisiin läpi kurssi kerrallaan pitäen mielessä oppimäärän kokonaisuus ja yhdellä kurssilla käytettävissä oleva oppituntimäärä.

Omalta kohdaltani en vielä ole valmis yksityiskohtaiseen analyysiin; täytyy ottaa esitys paperille ja pohtia kokonaisuutta ensin perusteellisesti. Mutta jostakin aloittaakseni, pari sanaa 1. kurssin sisällöstä.

Sehän alkaa perinteisesti lukualueiden esittelyllä, mistä siirrytään laskutoimituksiin jne.. Pitäisin järkevänä, että jo lukualueiden esittelyn yhteydessä käsiteltäisiin kokonaislukujen jaollisuuteen liittyvät asiat alustavasti, eli tultaisiin viimeistään tässä vaiheessa tietoisiksi alkuluvuista ja todistettaisiin aritmetiikan peruslause.
Jos todellakin induktiota olisi alustettu jo yläkoulussa, tämä ei olisi mitenkään mahdotonta. Heikin esityksessä olevat lukujärjestelmien esittelyt voitaisiin siirtää varsinaiselle lukuteorian kurssille vallankin, kun hänen esityksensä mukaan tuo kurssi varattaisiin kokonaisuudessaan lukuteorialle. Logiikkahan sopii hyvin tn-kurssin alkuun, jos se kurssi varataan pelkästään diskreeteille muuttujille. Mielestäni tällä tavalla saataisiin pitkän matematiikan alku nykyistä paremmin jengoilleen.

Mitä tulee Jussi Niemisen mainitsemaan lyhytjännitteisyyden lisääntyneisyyteen, niin tämän ilmiön syistä voi olla montaa mieltä. Johtuisiko se osaltaan siitä, että nykyinen peruskoulu OPETTAA lapsille tällaisen käyttäytymismallin pilkkomalla kaiken opittavan niin pieniksi palasiksi, ettei opittavassa asiassa enää ole juoni ja tarkoitus näkyvissä? Tähän tilanteeseen on tietenkin jouduttu sen takia, että koko ikäluokalle on kaikissa oppiaineissa sama opetussuunnitelma. Jos sen sijaan lyhytjännitteisyys tai ADHD-oireyhtymä on viimeisten 30 vuoden aikana luonnonilmiön tavoin yleistynyt, niin siinä tapauksessa olemme todistamassa ihmisen evoluution sensaatiomaista nopeutumista.

Insinööritäti • 19.1.2012 21:39 • #

Pelkkä hyvä ops ei riitä peruskoulun matematiikan osaamistason parantamiseen. Siihen tarvitaan oppitunteja, joiden määrä päätetään tulevassa tuntijaossa.

On sinänsä mielenkiintoista, että peruskoulun tuntijakoa kehitetään mielipidekyselyiden tuloksilla, jättämättä arvioimatta eri oppiaineiden opetussuunnitelmien perusteiden vaikuttavuus toisen asteen koulutuksessa.

Opetus- ja kulttuuriministeriö antoi toimeksiannon Koulutuksen arviointineuvostolle 11.11.2008, jonka kohteena oli perusopetuslain 14§ opetussuunnitelmajärjestemän toimivuus. Arviointiryhmä toimitti alustavat tulokset vuoden 2009 lopussa ja julkaisun nro 52 Esi- ja perusopetuksen opetussuunnitelmajärjestelmän toimivuus, 2011.
http://www.edev.fi/portal/julkaisu.

Arvioinnin kohdealueet olivat seuraavat:
i) opetussuunnitelman perusteiden ja tuntijaon toimivuus ja toteutuminen;
ii) tavoitteiden ja sisältöalueiden arviointi ja suhde tuntijakoon;
iii) opetussuunnitelman perusteiden vaikuttavuus;
iv) opetussuunnitelman perusteiden valmisteluprosessi ja toimeenpano.

Arviointiaineistoa päätettiin kerätä seuraavilta sidosryhmiltä: 1) poliittiset päättäjät ja opetushallinnon keskeiset virkamiehet, 2) opetuksen järjestäjät, 3) koulujen ja esikoulujen rehtorit ja johtajat, 4) koulujen ja esikoulujen opettajat, 5) oppilaat ja 6) oppilai-
den vanhemmat.

Tehty sidosryhmien rajaus on varsin mielenkiintoinen “opetussuunnitelman perusteiden vaikuttavuus” kohdalla. Olisi ollut ja olisi edelleen tärkeää tarkastella opetussuunnitelman perusteiden sisältöä ja sisäistämistä jatko-opintojen kannalta, niin ammattillisten kuin lukio-opintojen valossa. Vielä tärkeämpää olisi tarkastella sitä syrjäytyneiden, systeemistä pudonneiden nuorien kohdalla. Julkaisun perusteella eri oppiaineiden opetussuunnitelman perusteiden vaikuttavuutta ei selvitetty.

Julkaisussa sanotaan – “Tulokset osoittavat, että oppiaineiden tuntijaossa toivotaan kaikille yhteisten taito- ja
taideaineiden tuntimäärien kasvattamista yläkoulussa.” sekä “ Opetussuunnitelman perusteet 2004 sisältää liikaa yleisluonteisia tavoitteita ja yksityiskohtaisia sisältöjä opetusaikaan nähden.”

Opettajien vastauksissa – “Strukturoimattomissa vastauksissa otettiin kantaa, miten asian voisi järjestää: Teoria-aineita voisi yhdistää ja taitoaineita lisätä. Valinnaisuutta pidettiin erittäin tärkeänä kouluviihtyvyyden, motivaation ja erilaisten oppijoiden kannalta. “
Oppilaiden vastauksissa – “taito- ja taideaineita sekä valinnaisia aineita tulisi olla enemmän. Vastaavasti oppilaat haluaisivat vähentää tunteja esimerkiksi äidinkielessä, kirjallisuudessa, matematiikassa, kemiassa ja fysiikassa.”
Vanhempien mielestä – “Tuntijakoon liittyen taito- ja taideaineita toivottiin lisää, mutta uskonnon opetukseen toivottiin muutosta.”

Ratkaiseeko valinnaisuus todella kouluviihtyvyysongelmat?
Eikö olisi parempi laatia esim. kaksitasoiset opsit ja toteuttaa ne tuntijaolla niin, että sekä hitaat että nopeat oppisivat koulussa? Todellisuudessa valinnaisuus tarkoittaa alueellista koulutuksellista epätasa-arvoa, koska urheilu- ja kulttuuripuolue hallitsee monia kuntia, ja oppilaan oikeus opinahjoansa valitsemiseen perusopetuksessa on rajoitettu samoin kuin oikeus valita valinnaiskursseja minimituntimäärää enempää kunnan omien sääntöjen perusteella.

Tehoaisivatko Jukka Innasen ajatukset paremmin perusopetuksen kouluviihtyvyysongelmiin?
http://www.aamulehti.fi/cs/Satellite?c=AMArticle_C&childpagename=KAL_newssite%2FAMLayout&cid=1194715799910&p=1194626958999&pagename=KALWrapper

Teemu Hinkula • 21.1.2012 9:56 • #

Pisti silmään nuo tasokokeet jo seiskalla. Muistaakseni joku yhdysvaltalainen opettaja kehui suomalaista koulujärjestelmää juuri sen takia, että tasokokeita ei ole liian aikaisin. Näin opettajilla on mahdollisuus toteutta omaa opetusideolog…iaansa. Tämä tietenkin vaatii onnistuakseen opettajilta ammattitaitoa. Eikö Suomen opettajien pätevyyttä ole kuitenkin kehuttu? Onkohan oikeasti kuitenkin näin? Tähän on vaikea kommentoida, koska oma vertailupohjani muun maalaisiin ei ole kyllin vahva.

Kuitenkin aikaiset tasorymät ovat olleet keskustelun alla pitkään. Suomessa harrastetaan erityisoppilaiden integroimista isoihin ryhmiin, joka tekee ryhmistä todella heterogeenisiä. Tämä antaa opettajille haastetta opetukseen. (Yksi ratkaisu voisi olla jotain tämän tyyppistä: http://maot.fi/2011/12/tavoitteena-vahentaa-opettajien-tyotaakkaa/)

Käsitykseni mukaan Virossa tehtiin opetussuunnitelman muutos aika vasta. Siellä opetusta on tuntimääräisesti enemmän ja oppilaat ovat tasoryhmissä. Perstuntumani mukaan opetettavat asiat ovat n. vuoden edellä Suomen ops:aa.

Mielenkiinnolla odotan seuraavia Pisa-tuloksia ja Viron opetussuunnitelman muutoksen vaikutuksia. Heillä on myös se “etu”, että maahanmuuttajia ei juuri ole, joten kielellisiä vaikeuksia ei pitäisi olla niin paljoa.

Heikki Pokela • 21.1.2012 12:23 • #

Markku Halmetoja:

“ …pari sanaa 1. kurssin sisällöstä.

Sehän alkaa perinteisesti lukualueiden esittelyllä, mistä siirrytään laskutoimituksiin jne.. Pitäisin järkevänä, että jo lukualueiden esittelyn yhteydessä käsiteltäisiin kokonaislukujen jaollisuuteen liittyvät asiat alustavasti, eli tultaisiin viimeistään tässä vaiheessa tietoisiksi alkuluvuista ja todistettaisiin aritmetiikan peruslause. Jos todellakin induktiota olisi alustettu jo yläkoulussa, tämä ei olisi mitenkään mahdotonta. Heikin esityksessä olevat lukujärjestelmien
esittelyt voitaisiin siirtää varsinaiselle lukuteorian kurssille vallankin, kun hänen esityksensä mukaan tuo kurssi varattaisiin kokonaisuudessaan lukuteorialle.”

Idea eri lukujärjestelmien esittelystä kurssilla MA1 tulee oppilaiden “pakottamisesta” ajattelemaan laskutoimituksia (mm. jakokulma) kunnolla, sillä muissa kuin kymmenjärjestelmässä jokaista laskenta-algoritmin askelta on mietittävä erikseen, miksi se menee noin. Tällöin oppilas ei ohittaisi kurssin alun asioita itsestäänselvyyksinä.

Eri lukujärjestelmät on kyllä hivenen raskas esitys heti lukion alkuun ja sopisi enemmän lukuteorian yhteyteen. Mainittu alkuluvut ja aritmetiikan peruslause ajaisi ehkä paremmin saman asian kurssin MA1 alussa: lukualueiden ja laskutoimitusten sisältö tulee olennaisesti mielekkäämmäksi eli sitä ei oppilas voi ohittaa vilkaisulla. Lukujen jaollisuuden ja alkutekijöiden tutkimisen ehdotin aloitettavaksi yhdeksännellä luokalla. Tämä oli käytäntö ainakin tasokurssiajan kirjassa Hakalehto, Honkanen, Hämäläinen, Kaila ja Ranta: Matematiikka 9. Lisäksi lukujen jaollisuuden syvempi ymmärtäminen kurssilla MA1 pohjustaa jatkossa seuraavia jaollisuusasioita polynomien yhteydessä. Mielestäni polynomien jaollisuus on kurssin MA2 ehkäpä keskeisin sisältö, jonka oppimiseen miltei kaikki muu perustuu ko. kurssilla. Kirjaan tämän muutoksen ylös, sillä jos saisimme käytyä täällä OPS-keskustelunavausta kurssikohtaisesti läpi, voisin koostaa (tai joku koostaisi) keskustelun pohjalta uuden OPS-ehdotuksen Luma-Sanomille julkaistavaksi uutta pohdintaa varten.

Induktiotodistus on mielestäni olennainen todistustekniikka, joten sitä olisi esitettävä alustavasti yläkoulussa. Aluksi mietittäisiin jonoa vaikkapa ihmisiä, joista tiedetään

1) jonon ensimmäisellä on oranssi paita
2) jos jollakin jonossa on oranssi paita, myös häntä seuraavalla henkilöllä on.

Pohdittaisiin, miksi tällöin kaikilla jonossa on oranssa paita.

Vastaavasti:

1) jonon ensimmäisellä on oranssi paita
2) jos jollakin jonossa on oranssi paita, myös häntä jonossa kaksi pykälää seuraavalla seuraavalla henkilöllä on

Nyt ei kaikilla olekaan välttämättä oranssia paitaa, mutta

1) jonon kahdella ensimmäisellä on oranssi paita
2) jos jollakin jonossa on oranssi paita, myös häntä jonossa kaksi pykälää seuraavalla seuraavalla henkilöllä on

Tässä taas jälleen kaikki ovat varmasti sonnustautuneet oranssipaitaisiksi. Tällaiset tehtävät sopisivat mielestäni hyvin ysiluokan keväälle.

Markku H:

“Logiikkahan sopii hyvin tn-kurssin alkuun, jos se kurssi varataan pelkästään diskreeteille muuttujille.”

Joo. Logiikka samassa kurssissa (todennäköisyyttä pohjustavan) joukko-opin ja todennäköisyyslaskennassa vaadittavan loogisen ajattelun kanssa voisi olla hyvä paketti.

Alli Huovinen • 21.1.2012 12:25 • #

Kommentteja Facebookista (pyydettiin siirtämään tänne)

Hannu Poropudas: Kallion Lakuoppi 5. ja 6. luokille. Väisälän keskikoulun algebra ja Väisälän geometria 7., 8. ja 9. luokille. Nämä antavat riittävät valmiudet.

Ilari Vallivaara: Eikö jo suhteellisen pitkään ole ollut käsityksenä ja suuntana, että on parempi oppia perusasiat kunnolla kuin paljon asioita pinnallisesti? Pokelan ehdotus näyttää ainakin nopeasti vilkaistuna noudattavan tismalleen päinvastaista oppia.

Johannes Suonperä (lukion opiskelija): Jos matematiikan opiskeluun kouluissa olisi enemmän aikaa, niin kannattaisin, mutta nytkin lukiossa MAA11 kurssilla ei ehditä ottaa todistuksia suurimmalle osalle lauseista, joita tulee vastaan, eikä ehditä tarkistaa pitkiä osoitustehtäviä. Kurssisisällöt kahlataan läpi juosten kusten, eikä suurin osa oppilaista pysy kärryillä.

Heikki Pokela • 21.1.2012 12:39 • #

Kiitokset Jussi Niemiselle kommenteista! Näin saadaan keskustelu alkuun.

Viittauksella Väisälän näkemyksiin tarkoitin tiettyjen olennaisten avainrutiinien harjoituttamista pitemmällä aikavälillä kuin nykyisin tehdään. Suurelta osin hänen ansiostaan lukioihin tuli differentiaali- ja integraalilaskenta, ja myöhemmin tulivat Jussin mainitsemat todennäköisyys ja vektorioppi. Uudistukset nähtiin olennaisina muuttuvan yhteiskunnan koulutustarpeisiin. Olen melko vakuuttunut, että Väisälä olisi mielellään nähnyt napakoordinaattien, skalaarimuuttujan vektoriarvoisten funktioiden ja kahden muuttujan funktioiden esittelyn tulevan lukioon. Käsittääkseni napakoordinaatteja ja kahden muuttujan funktioita käsiteltiin edellisen OPSin (1994) kurssin 13 kirjasarjoissa.

Yhteiskunnan tarvitsema matematiikan osaaminen noista ajoista ei ole vähentynyt mihinkään, pikemminkin päinvastoin. Siitäkin syystä meidän olisi mietittävä tarkoin, miten kunkin ikäluokan osaamispotentiaali ja matemaattinen sivistys saadaan kohtaamaan. Lienee selvää, että peruskoulu, lukio ja yliopistot muodostaessaan nivelvaiheissa katkeamattoman jatkumon on tähän ongelmaan ratkaisun ydin.

Pyytäisin kaikilta keskusteluun osallistujilta kommentteja OPS-ehdotustekstin alussa lueteltuihin “avainrutiineihin”. Puuttuuko listalta jotain olennaista vai onko joku listalla mainittu asia mielestänne epäolennainen? Nämä “avaimet” ovat ottimia uudelle matemaattiselle tiedolle ja siten välttämättömiä ehkaisemään ongelmia edettäessä seuraaville kursseille ja nivelvaiheiden yli seuraaville kouluasteille.

Jussi Nieminen:

“Uusien sisältöjen kuten napakoordinaattien ja kahden muuttujan funktioiden lisääminen pakollisten kurssien sisältöihin pahentaisi kiirettä kursseilla entisestään. Ovatko nämä todella välttämättömiä pohjatietoja korkeakouluopintoihin?

Nähdäkseni ovat. Napakoordinaatit ovat miltei käden ulottuvilla sen jälkeen kun yksikköympyrän ja vektoreiden alkeet on esitelty. Esimerkiksi TKK:n ensimmäisen vuoden opintovuoden aikana melko nopeassa tahdissa edellytetään kykyä ratkoa differentiaaliyhtälöitä napakoordinaatistossa vektorifunktioille. Ne lukuisat opiskelijat, jotka eivät ole ihan kärkikastia matematiikassa ahkeruuden ja muiden kykyjen osalta, ovat pulassa. Heille matematiikan perusopinnot muodostuvat helposti rimaa hipoen läpi kahlattavaksi tavaraksi, josta ei muodostu juuri minkäänlaista käyttörutiinia tuleviin insinööriopintoihin. Vuosien ajan TKK on tullut vastaan ja alentanut lähtötasoa. Mutta lopulta sekään ei auta. On tiettyjä asioita elämässä, jotka olisi hyvä harjoitella niille sopivassa iässä eikä myöhemmin kiireen ja lopahtaneen asenteen kanssa. Juuri tästä on kysymys OPS-ehdotuksessa. Selvennykseksi lienee hyvä todeta, että on toki mahdollista oppia myös varttuneemmalla iällä eikä sitä haluta estää koulutuksellisten ratkaisujen kautta.

Jussi jatkaa:

“Eikö olisi parempi käyttää tämä aika nykyisten sisältöjen kunnolliseen harjoitteluun?”

Pidän nykyisen OPSin asioiden järjestystä ja sisältöä hieman puutteellisesti laadittuna, mikä jo osaltaan estää kunnollisen harjoittelun. Olisi muuten todella mielenkiintoista kuulla, mitä Jussi itse ajattelet siitä, mitkä asiat mahdollistaisivat kunnollisen harjoittelun (vrt. esittämäni avainrutiinilista).

Jussi N:

“Esityksessä on toki myös kohtia, joita pidän hyvinä. Esimerkiksi perusgeometrian ja vektoreiden opiskelu useamman kurssin aikana, kuten vielä vuoden 1985 OPSissa tehtiin, olisi parannus nykyiseen tilanteeseen. Samoin ajatus yksinkertaisten integraalifunktioiden päättelyn tuomisesta jo derivaattakursseille on minusta ihan mielenkiintoinen.”

Tästä lienemme samaa mieltä: perusgeometria ja vektorit tukevat toisiaan. Peruskoulussa aloitettu vektoriopin pohjustus mahdollistaisi tämän vielä paremmin.

Integraalilaskenta on nykyisellään murheenkryyni. Ensin harjoitellaan pari viikkoa integrointitekniikkaa (oppimatta kunnolla sisäistämisajan lyhyyden vuoksi) ja sen jälkeen pitäisi jo osata muodostaa pinta- ja tilavuusalkioita määrättyä integraalia varten. Lopputuloksena on kaavakirjasta katsottu tilavuuden kaava, jota on sovellettu väärin ja integrointitekniikkakin (jos integroitava sisältää esimerkiksi yhdistetyn funktion) on päin honkia.

Jos integrointitekniikkaan tutustuttaisiin pikkuhiljaa usean kurssin aikana, se voisi tuoda nykytilanteeseen huomattavan parannuksen.

Jussi N:

“Maailma on muuttunut aika paljon Väisälän ajoista. Oppilaat ovat netti- ja kännykkäaikakaudella entistä lyhytjänteisempiä.”

Tästäkin syystä matematiikan uuden OPSin tulisi olla sellainen, että se ei ainakaan ruokkisi kyseistä ilmiötä.

Heikki Pokela • 21.1.2012 12:55 • #

Päivi Koskinen:

“Kaipailin kovasti lukion lyhyen matematiikan kursseista kommenttia ja samoin jonkinlaista nivelkurssia yläkoulusta lukioon.”

Lyhyen matematiikan asioiden käsittely on myös tärkeä osa-alue uuden OPSin laadinnassa. Niin tärkeä, että sille on varattava oma keskustelunsa.

Nivelkurssi on varmaankin nyt tullut tarpeeseen. Samalla olisi syytä pohtia nivelkurssin syntyhistoriaa. Ensimmäiset suositukset nivelkurssin pitämisestä muistaakseni ilmestyivät kun ensimmäinen tasoryhmittämätön ikäluokka oli käynyt lukion ykkösluokan: huomattiin, että lukiotulokkaiden osaaminen oli selkeästi heikentynyt edelliseen ikäluokkaan nähden.

Ehdotuksella uudeksi OPSiksi (tai siis keskustelunavaus siitä) halutaan poistaa syyt tällaisen kurssin tarpeelle. Jos kaikesta huolimatta lukio haluaa pitää jonkinmoisen preppauskurssin, niin mikäpä siinä. Sen kirjaaminen valtakunnalliseen OPSiin kuitenkin antaisi mielestäni hiljaisen hyväksynnän nykytilanteelle: peruskoulussa ei tarvitsisi tehdä mitään rakenteellisia uudistuksia lukion aloitustason varmistamiseksi.

Heikki Pokela • 21.1.2012 13:14 • #

Alli Huovisen facebookista siirtämä kommentti:

”Ilari Vallivaara: Eikö jo suhteellisen pitkään ole ollut käsityksenä ja suuntana, että on parempi oppia perusasiat kunnolla kuin paljon asioita pinnallisesti? Pokelan ehdotus näyttää ainakin nopeasti vilkaistuna noudattavan tismalleen päinvastaista oppia.”

Pikaisella vilkaisulla OPS-ehdotuksesta voi saada juuri tuollaisen pinnallista oppimista korostavan kuvan. Siksi toistan pyynnön kommentoida ehdotuksen alussa esitettyä seitsemän kohdan ohjelmaa matemaattisten työkalujen kuntoonsaattamiseksi, jotta pinnallinen oppiminen vältettäisiin. Lisäksi, kuten täällä on jo tuotu esille, ehdotus lähtee olettamuksesta, että kunnollinen työ matematiikan oppimiseksi aloitettaisiin jo peruskoulussa.

Insinööritäti • 21.1.2012 17:03 • #

Pokelan ehdotus antaa hyvän keskustelupohjan myös peruskouluun. Se nostaisi “laajan” matematiikan perusopetuksen tason kansainväliselle IGCSE (Core/Supplement) tasolle, jota korkean teknologian sivistysvaltiolta olettaisi.
http://www.cie.org.uk/docs/dynamic/41073.pdf

Valitettavasti peruskoulun matematiikan opetuksen kipupiste löytyy jo 1-2 luokan matematiikan opetuksesta, jolloin oppilaat jakautuvat aiheesta kiinnostuneisiin ja sen oppimisesta luopuneisiin.

Peruskoulussa olisi pyrittävä sirpaletiedon ulkoluvusta kokonaisuuksien hallitsemiseen. Nyt väläytetään lyhyesti yhteenlaskun ja kertolaskun välinen yhteys. Yhtä hyvin potenssin ja kertolaskun välinen yhteys voitaisiin opettaa jo 2-3. luokalla, ja samalla toisen ja kolmannen potenssin yhteys pinta-alaan ja tilavuuteen. Kokonaisuuksia opettamalla teoriakin niveltyy käytäntöön. Kunpa oppikirjan tekijät tämän oivaltaisivat, myös koetehtäviä laatiessaan.

Pedagogisesti pitäisi muistaa, että alle 12-vuotiaat ovat paljon avoimempia uusille asioille kuin yläastelaiset. Näin ollen “kirjaimilla” laskemista ei pidä jättää liian myöhään. Ala-asteella tulisi selkeästi olla ydinmateriaali, joka pitää oppia ja testaan kokeissa. Muuta materiaalia opetetaan ja lasketaan ala-asteella, mutta se ei kuuluisi koesisältöön. Tämä mahdollistaisi “kaksitasoisen” opetuksen pehmeästi ala-asteella ja virallisemmin 6. luokalta alkaen. Systeemiin kannattaa jättää väljyyttä, jotta siirrot molempiin suuntiin sallitaan.

Valtakunnallisen kokeen perusteella ja opettajan harkinnan mukaan, jos kokeessa on epäonnistunut tasoonsa nähden, olisi helppo valita ne, joilla on kykyjä. Jos annetaan mahdollisuus valita, niin ihmisen halu laiskuuteen vie voiton. Joka tapauksessa opetustunteja on oltava riittävästi, jotta tunneilla ehditään myös laskea ja harjoitella.

Ala-asteen ydinmateriaali perustuu kertotaulun hallintaan kuten murtolukujen kertominen, jakaminen, supistaminen, laventaminen; desimaalikulujen kertominen ja jakaminen sadoilla, tuhansilla; prosentin, desimaalin ja murtoluvun yhteys, pienin yhteinen jakaja. Nämä pitäisi treenata kuntoo viimeistään viidennen luokan loppuun. Sulkulauseet kuuluvat 4. luokan sivistykseen, eikä niitä tarvitse siirtää myöhäisemmäksi samoin kuin laskujärjestys. Kun yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskutoimitukset ovat saatu ohjelmoitua automaattiseksi toiminnoiksi, oppilaalla vapautuu työmuistia uusien asioiden omaksumiseen.

Ala-asteen geometrian ja mittaamisen opetuksessa olisi toivottavaa laajempien kokonaisuuksien opettaminen kerralla, ei ripottelemalla.

En kannata erillisiä lukioon valmistavia kursseja peruskouluun. Kuten Pokela totesi, niillä hyväksyttäisiin nykytila. Alueellisen eriarvoisuuden takia valinnaiskursseina niitä ei toteutettaisi liian pienen oppilasmäärän tai muun syyn takia. Lisäksi ne matematiikasta kiinnostuneet peruskoululaiset tympääntyisivät edelleen tunneilla.

markku halmetoja • 21.1.2012 18:55 • #

Insinööritädin ensimmäisestä kommentista käy ilmi, että oph hankkii lausuntoja peruskoulun tuntijaosta ja opsista kaikkialta muualta paitsi niiltä, jotka ottavat peruskoulusta valmistuneet jatko-opintoihin: “Arviointiaineistoa päätettiin kerätä seuraavilta sidosryhmiltä: 1) poliittiset päättäjät ja opetushallinnon keskeiset virkamiehet, 2) opetuksen järjestäjät, 3) koulujen ja esikoulujen rehtorit ja johtajat, 4) koulujen ja esikoulujen opettajat, 5) oppilaat ja 6) oppilaiden vanhemmat.”

Matematiikka on kuitenkin siitä helppo oppiaine, että opetuksen sisältöjä ei tarvitse etsiä muualta kuin matematiikasta itsestään. Kun osataan matematiikkaa, osataan myös soveltaa sitä tarpeen tullen. Matematiikkaa ei kuitenkaan opita hössöttämällä erilaisten sovellustehtävien parissa, vaan sitä täytyy opiskella omana itsenään. Se puolestaan vaatii opetusjärjestelyjä, joita Heikki on Väisälän ajatuksia mukaellen kirjannut esityksensä alkuun.

Seuraavassa esitys lukion pitkän matematiikan 1. kurssin sisällöksi.

==========
Kokonaisluvut; jaollisuusasiat, alkuluvut, yksinkertaisia induktiotodistuksia ja aritmetiikan päälause. Rationaaliluvut laskutoimituksineen, reaaliluvut, ja lopuksi todistus sille, että kakkosen neliöjuuri on irrationaalinen. Tämä kokonaisuus käsittäisi 8 oppituntia.

========
1.asteen yhtälöihin, yhtälöpareihin ja epäyhtälöihin johtavia sanallisia tehtäviä; tässä kertautuu suoriin liittyvät asiat. Binomin neliö, summan ja erotuksen tulo, binomikaava ja Pascalin kolmio. Tämä kokonaisuus niin’ikään 8 oppituntia.
==========

Itseisarvoyhtälöt ja epäyhtälöt; rajoitutaan tapauksiin abs(x-a)=r ja abs(x-a)<r. Juurioppi ja rationaaliset eksponentit laskusääntöineen. Tämä osuus käsittäisi 6 oppituntia.
=========

Eksponenttifunktio ja 10-kantainen logaritmi. Logaritmin esittäminen rajoittuisi määritelmään ja laskusääntöihin. Sovelletaan koronkorkolaskuihin ja suurten lukujen numeroiden määrän laskemiseen. Exp- ja log-funktioiden käänteisfunktio-ominaisuuksista ei vielä puhuttaisi. Niitä ehtii myöhemmin. Tämä osio käsittäisi 8 opituntia.
=========

Tässä siis 30 oppituntia käsittävä kokonaisuus, joka edellyttää sitä, että peruskoulussa on jo tehty jotakin asian eteen.

Insinööritäti • 21.1.2012 21:51 • #

Koulutuksen arviointineuvosto & oph unohti myös lukion opsin ja tuntijaon toimivuuden kohdalla hankkia lausuntoja niiltä, jotka ottavat lukiosta valmistuneet jatko-opintoihin. Opetussuunnitelman perusteiden vaikuttavuuden arviointi perustui lukion opettajien ja ylioppilastutkintolautakunnan sensorien vastauksiin.

“Ylioppilaskokeen tehtävät vastaavat sekä opetussuunnitelman oppiainekohtaisia tavoitteita että pakollisten ja syventävien kurssien oppisisältöjä hyvin…. Ylioppilaskokeen tehtävien katsotaan kattavan kunkin vastaajan alan jatko-opintojen näkökulmasta keskeisen perustiedon keskimäärin
hyvin.”

Koulutuksen arviointineuvoston julkaisu nro 55, Lukiokoulutuksen opetussuunnitelman perusteiden ja tuntijaon toimivuuden arviointi, 2011. http://www.edev.fi/portal/julkaisu

markku halmetoja • 22.1.2012 12:10 • #

Skarppaan tässä hieman esitystäni lukion pitkän matematiikan ykköskurssin sisällöstä.

==========
Kokonaisluvut; jaollisuusasiat, alkuluvut, yksinkertaisia induktiotodistuksia ja aritmetiikan peruslause. Rationaaliluvut laskutoimituksineen, reaaliluvut, järjestys ja etäisyys reaalilukuakselilla, yksinkertaisia itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä sekä lopuksi todistus sille, että kakkosen neliöjuuri on irrationaalinen. Tämä kokonaisuus käsittäisi 8 oppituntia.

========
1.asteen yhtälöihin, yhtälöpareihin ja epäyhtälöihin johtavia sanallisia tehtäviä; tässä kertautuu suoriin liittyvät asiat, prosenttilaskut ja verrannollisuus. Summan ja erotuksen tulo, binomin potenssit ja Pascalin kolmio. Tämä kokonaisuus niin’ikään 8 oppituntia.
==========

Juurioppi ja rationaaliset eksponentit laskusääntöineen. Tämä osuus käsittäisi 6 oppituntia.
=========

Eksponenttifunktio ja 10-kantainen logaritmi. Logaritmin esittäminen rajoittuisi määritelmään ja laskusääntöihin. Sovelletaan koronkorkolaskuihin ja suurten lukujen numeroiden määrän laskemiseen. Harjoitustehtävissä mm. irrationaalisuustodistuksia. Exp- ja log-funktioiden käänteisfunktio-ominaisuudet ovat esillä ja käytössä, mutta asiaan palataan vakavammin vasta differentiaalilaskennan yhteydessä, kun määritellään kahden funktion yhdiste. Tämä osio käsittäisi 8 oppituntia.
=========

Tässä siis 30 oppitunnin sisältö. Yleisperiaate muidenkin kurssien kohdalla olisi sellainen, että jo peruskoulussa opittuja juttuja ei tarvitse opettaa uusina asioina, vaan niitä vahvistettaisiin kautta linjan harjoitustehtävissä. Rationaalilausekkeiden sieventelyjä voi laittaa kakkoskurssiin, joka siis pääosin käsittelee polynomien tekijöihinjakoa. Supistamiset, laventamiset ja peruslaskutoimitukset ovat tällöin luonnollista harjoitustehtävämateriaalia.

Simo Kivelä • 22.1.2012 16:07 • #

Heikki Pokelan lista koulukursseihin sisällytettävistä asioista on aika hengästyttävä eikä oikein sopusoinnussa sen usein esitetyn ajatuksen kanssa, että aihepiiri voi olla suppeampikin, kunhan asiat opitaan kunnolla. Laajan esityksen heikkoutena on usein, että siitä tulee lopullisen päätöksen pohja, mutta sitä helpotetaan jättämällä sieltä täältä yhtä ja toista pois, jolloin esityksen punainen lanka katoaa.

En pitäisi kovin hyvänä lähtökohtana eri aikoina opetussuunnitelmaan sisältyneiden asiakohtien jaottelua kursseihin, vaikka looginen jatkumo olisikin nykyistä opetussuunnitelmaa parempi. Väisälällä epäilemättä oli ansionsa, mutta mieluummin pitäisi katsoa eteen- kuin taaksepäin, unohtamatta kuitenkaan sitä oppia, mikä aikaisemmasta on saatavissa.

Ottaisin lähtökohdaksi mieluummin pohdiskelun siitä, mitä näkökulmia koulun matematiikan opetukseen ainakin tulisi sisältyä. Pyrkimättä mihinkään tyhjentävyyteen esittäisin ainakin seuraavia:

1) Murtoluvuilla pitää osata laskea myös ilman apuvälineitä. Kyse ei ole siitä, että apuvälineitä ei saisi tarvittaessa käyttää, mutta tarve ei saisi tulla vastaan liian usein eikä liian yksinkertaisissa yhteyksissä, koska se häiritsee johonkin monimutkaisempaan asiaan keskittymistä.

2) Algebrallisia lausekkeita tulisi oppia käsittelemään: sieventämään ja muokkaamaan. Sähköiset apuvälineet auttavat tekemään virheetöntä työtä, mutta sieventäminen ja muokkaaminen ei ole mekaanista vaan tarkoitushakuista: pyritään johonkin, josta voidaan nähdä tai päätellä jotakin. Laskijalla itsellään täytyy olla näkemys tästä, enkä oikein usko, että tämän oppimiseen on muuta tietä kuin laskea itse, mieluiten kynällä ja paperilla.

3) Tietyt lukuteorian perusasiat, kuten alkuluvut, tekijöihin jako, suurin yhteinen tekijä, irrationaaliluvut ovat niin syvällä matematiikan olemuksessa, että ne täytyy ymmärtää. Tähän yhteyteen saattaisi sopia induktiotodistuskin.

4) Matematiikan ytimessä on asioiden todistaminen. Vanha euklidinen geometria on palvellut tätä tarkoitusta. Sen heikkoutena on kuitenkin, että vähänkään pitävästä aksiomatiikasta lähteminen merkitsee aika pitkää tietä, ennen kuin päästään lauseisiin, jotka ovat mielenkiintoisia eivätkä itsestään selviä. Todistamista on myös yritetty opettaa analyysin yhteydessä, mutta tällöin johdutaan todistamaan tuloksia, jotka oppilaan näkökulmasta ovat selviöitä. Niiden vaikeuden ymmärtäminen edellyttäisi joukkoa patologisia esimerkkejä, joihin paneutuminen koulutasolla ei ole perusteltua. Todistamista varmasti tulisi olla, mutta mikä olisi sopiva konteksti? Lukuteoria ehkä voisi olla, mutta onko kukaan kirjoittanut vähänkään sopivaa oppikirjaa ja testannut ajatusta?

5) Funktion käsite on tärkeä, tärkeämpi kuin Väisälän aikana. Jo funktiolaskimessa on funktioita ja näiden käänteisfunktioita, monissa tietokoneohjelmissa ja ohjelmointikielissä määritellään funktioita. Kuvaajiakin toki on syytä muodostaa, ehkä jopa kahden muuttujan funktioille.

6) Koordinaatistot ja graafiset esitykset ovat yhä tärkeämpiä. Piirtäminen sujuu helposti apuvälineillä, joten tilanteet voivat olla monimutkaisiakin. Napakoordinaatit kuuluvat asiaan, pallokoordinaatit myös (maapallo!).

7) Differentiaali- ja integraalilaskenta on ongelmallinen asia. Käsitteet tulisi oppia ymmärtämään ehkä differentiaaliyhtälökin mukaanluettuna, mutta mekaanisiin integrointi- tai edes derivointikaavoihin ei kovin paljoa kannata aikaa käyttää. Näiltä osin voidaan turvautua symbolisiin laskimiin ja tietokoneohjelmiin.

8) Vektorit ovat tehokas työkalu geometriassa ja eräällä tavoin avaavat uuden maailman. Analyyttinen geometria on vektorigeometrian suora johdannainen ja kuuluu tähän yhteyteen.

9) Todennäköisyyslaskenta on varmasti tarpeen, mutta kombinatorinen osuus voisi ehkä jäädä hieman vähemmällekin, vaikka sillä historiallinen merkitys onkin. Normaalijakaumaa voi käsitellä ilman integraalikäsitettäkin. Ei niitä arvoja koulussa integroimalla lasketa.

10) Numeriikka olisi hyvä jollakin tavoin saada mukaan. Olisihan hyvä antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mitä numeerinen laskin ainakin periaatteessa tekee tai miten monia luonnontieteellisiä ym. ongelmia isoissa tietokoneissa käsitellään.

Listaa on toki tässäkin eikä ohjelmasta saa liian raskasta tulla. Jokaisen kohdan tarkempaa sisältöä on syytä pohtia eikä tällöin pidä liiaksi sitoutua totuttuihin esitystapoihin. Maailma muuttuu, uusia näkökulmia tarvitaan.

Heikki Pokela • 22.1.2012 17:44 • #

MA1-kurssi voisi periaatteiltaan koostua Markku Halmetojan esittämien neljän aihekokokonaisuuden sisältöinä olevien matemaattisten työkalujen käytön vahvistamisesta, niihin liittyvien laskusääntöjen yleistyksistä ja todistustekniikan mieltämisestä olennaisena osana matematiikkaa.

Yleistyksiä on mm. se kun eksponenttiin voidaan kokonaisluvun lisäksi laittaa murtoluku tai mikä tahansa reaaliluku. Reaalisen eksponentin esittelyn jälkeen eksponenttifuntio saadaan jatkuvaksi. Laskusääntöihin vedoten osoitetaan n:s juuri samaksi kuin eksponentti 1/n.

Valitettavasti nykyään MA1-kurssin idea yleistyksien esittämisestä tahtoo hukkua heikon pohjaosaamisen alle. Jos murtolukujen käsittelyssä ja juurien ymmärtämisessä on mustia aukkoja, yritä siinä sitten saada jakeluun murtolukupotenssin luonteenpiirteitä. Tällä viittaan jälleen kerran tasoryhmien tarpeellisuuteen.

Neliöjuuri kakkosen osoitus irrationaaliseksi parillisuuden avulla on hieno kytkös parillisuuden, jaollisuuden ja juuriopin välillä. Näitä todistuksia tulisi olla kurssin edetessä muitakin.

Eksponenttifunktiota (jatkuvana) ja logaritmia lukuunottamatta muut ehdotetut aiheet on jo alustettu peruskoulussa. Ko. funktiot ovat toistensa käänteisfunktioita, minkä kyvykäs oppilas hoksaa nopeasti, mutta tässä vaiheessa (MA1) käänteisfunktioiden syvempi pohtiminen näillä funktioilla heti niiden esittelyn jälkeen saattaa olla raskasta.

Käänteisfunktioasian sijoittaminen lukiokursseihin mietityttää. Kysymyksessä on mielestäni seuraavanlainen punainen lanka lukiomatematiikassa.

Käänteisfunktion idea lineaarisilla funktioilla voidaan ja pitääkin tehdä peruskoulussa sekä opettaa määrittely- ja arvojoukot – ja tietysti niiden vaihtuminen toisikseen käänteisfunktion tapauksessa. Jossain vaiheessa, mieluummin jo kurssilla MA1, pitäisi tutustua funktionaaleihin. Eli esimerkiksi jos f(x) = x^2, niin f(x-1) = (x-1)^2 = x^2 – 2x +1 ja edelleen 2x = x^2 – f(x-1) + 1. Mitäpä jos annetaan viimeisin lauseke oppilaalle (vaikka abille!) ja kysytään, mitä on f(x). Veikkaisin hämäännyksen ainakin keskiverto-oppilaalla olevan suuri ellei näitä ole harjoiteltu. Tällaisilla tehtävillä hahmottuu funktion idea asettta syvällisemmin ja tie kohti yhdistettyä funktiota ja käänteisfunktiota käy helpommin. Nythän useimmille oppilaille jää käsitys, että termi f(x) on aina yhtälön vasemmalla puolella pyhänä ja koskemattomana. Se pitää palauttaa ”tavallisten kuolevaisten joukkoon” (eli termiksi jota voidaan siirrellä yhtälössä ja sen sisälle voidaan laittaa muutakin kuin x) esimerkiksi tehtävällä:

Määritä kaikki funktiot joukossa (R\0) joille pätee

f(x) + 8f(1/x) = -63x.

Tämä oli MAOLin avoimen sarjan alkukilpailutehtävänä vuonna 2005. (Huomasin kerran etsiessäni netistä ulkomaisia kilpailutehtäviä, että ko. tehtävä oli ollut vuonna 2006 Uruguayssa. Tehtävät matkustavat maailmalla.)

Esimerkiksi viimeisimmän 9. luokan valtakunnallisessa kokeessa kysyttiin (kts. Dimensio 6/2011 s. 12):

Suoran 2x + y = 3 kulmakerroin on
A) -2 B) 1 C) 2 D) 3

Tehtävä sai osakseen kritiikkiä: ” Jos kokeessa kysytään kulmakertoimesta ja vakiotermistä, voisi termit olla ”paikoillaan”, kuten ne lähtökohtaisesti opetetaan”. Peruskoulussa tämä on ymmärrettävää, mutta lukiolaisen pitää jo osata siirrellä ja käsitellä myös termiä f(x) – ja kyllä edellisen tehtävän ysiluokan laajan tasokurssin oppilas osaisi.

Käänteisfunktiota pitää lähestyä hakemalla se ensin lineaarifunktioilla ja harjoittelemalla funktionaaleja. Seuraavaksi käänteisfunktio voitaisiin hakea potenssi- ja juurifunktioille, ja myöhemmin yleisille polynomi- ja eksponenttifunktioille. Näin saadun useamman kurssin mittaisen pohjustuksen kautta yhdistetyn funktion olemus ja sen derivaatta ymmärrettäisiin paremmin. Käänteisfunktion derivaatta ei jäisi pelkän kaavan käytöksi ja integroitaessa yhdistetyn funktion derivaatta osattaisiin ehkä paremmin kuin nykyään. Liian moni kohtuu kyvykäskin oppilas integroi yo-kokeessa (sinx)^2 funktion suoraan polynomina 1/3(sinx)^3. Mielestäni edellä kuvattu oppimisen ketju linkittää monta asiaa. Ja myös periaatteelisella tasolla ajateltuna pitkä matematiikka sisältää monta operaatiota, joilla on olennainen käänteistoimituksensa, esim. derivaatta <-> integraali.

Voisiko potenssi- ja juurifunktioiden käänteisfunktioita sekä funktionaaleja (ja vaikkapa funtionaaliyhtälöitä) olla kurssilla MA1 vai olisiko syytä myöhentää niitä?

Käänteisfunktiosta eräs yo-tehtäväklassikko on yo93k/10:
http://matta.hut.fi/yoteht/hist/k93p.pdf

markku halmetoja • 24.1.2012 12:53 • #

Simo K.:n esittämästä 10 kohdan ohjelmasta nähdäkseni melko hyvin hahmottuu Heikki P.:n esittämä ops-luonnos. Sen sisältö ja asioiden järjestys pitäisi nyt vain pohtia monelta kantilta. Varsinkin geometrian kolmen kurssin osuus on varmistettava huolellisesti. Oman ekakurssiluonnoksen jatkoksi esitän Heikin kakkoskurssia sellaisenaan. Siinä olisi sitten ratkaisevaa se, kuinka onnistuneen tehtäväkokoelman oppikirjanikkarit saisivat aikaan. Nykyään puhutaan paljon tylsästä mekaanisesta työstä esimerkiksi rationaalilausekkeiden käsittelyn yhteydessä, mutta hyvän tehtäväkokoelman kanssa työ ei ole mekaanista, vaan tehtävissä on paljon sellaista pientä tajuttavaa niksiä, jonka vain tekemällä voi oppia. Kyseessä on sama ilmiö, mitä lätkä- ja futisvalmentajat kutsuvat takapihaharjoitteluksi. Urheilijat ottavat pallon ja mailan haltuunsa noissa harjoitteluissa. Matematiikan opiskelija ottaa lausekkeet ja yhtälöt haltuunsa työntäessään kynää lampun valossa paperia pitkin.

Ytl:n konepäätöstä ei heti ainakaan voi peruuttaa, joten niiden kanssa on elettävä, ja oikea periaate on tietenkin se, että asiat on ensin opittava. Kun tietää osaavansa, voi sitten laiskuuttaan ottaa välituloksia pitkässä päättelyssä koneeltakin.

markku halmetoja • 24.1.2012 19:15 • #

Kommentti vielä pariin Simo K.:n teesiin. Simo kirjoittaa:

“9) Todennäköisyyslaskenta on varmasti tarpeen, mutta kombinatorinen osuus voisi ehkä jäädä hieman vähemmällekin, vaikka sillä historiallinen merkitys onkin. Normaalijakaumaa voi käsitellä ilman integraalikäsitettäkin. Ei niitä arvoja koulussa integroimalla lasketa.

10) Numeriikka olisi hyvä jollakin tavoin saada mukaan. Olisihan hyvä antaa jonkinlainen mielikuva siitä, mitä numeerinen laskin ainakin periaatteessa tekee tai miten monia luonnontieteellisiä ym. ongelmia isoissa tietokoneissa käsitellään.”

Normaalijakauman käsittely ilman integraalilaskentaa on tyypillistä lukion lyhyttä matematiikkaa. Pitkällä sen sijaan on asian luonteen takia mentävä syvemmälle. Kun lyhyessä matematiikassa jakaumaan liittyvä laskurutiini opetellaan ulkoa, niin pitkässä se voidaan integraalilaskennan yhteydessä perustella sijoitusmenettelyn avulla, vaikka integraaleja ei voikaan kynällä laskea. Oikeastaan taulukon käytöstä voisi tässä yhteydessä luopua kokonaan, sillä nykyisissä laskimissa on tehokkaat numeerisen integroinnin ohjelmistot, joiden avulla laskut saa tehdyksi, kun vain muuntaa tiheysfunktion aina tilanteeseen sopivaksi. En kutistaisi myöskään kombinatoriikan osuutta, sillä laskimissa on myös tehokkaat ohjelmat tähän tarkoitukseen. Lisäksi laskinten sum- ja seq-toimintoja käyttäen voidaan laskea mm. hyvin massiivisia binomitodennäköisyyksiä ja verrata tulosta normaalijakauma-approximaatiosta saatuun.

Nykyinen numeerisen matematiikan kurssi lukiossa on melko tarpeeton, sillä kaikki oleellinen siinä voidaan ujuttaa varsinaisiin kursseihin, jossa ne tukevat itse asian oppimista. Newtonin menetelmä differentiaalilaskentaan,jossa se on luonnollisella paikalla havainnollistamassa funktion approximointia tangentilla; puolisuunnikassääntö havainnollistaa määrätyn integraalin käsitettä; ja eipä nykyisellä kurssilla n:o 12 juuri muuta oleellista taida ollakaan.

Alli Huovinen • 26.1.2012 2:03 • #

Facebookista siirrettyä:
Samuli Heikkilä: “Hyvä kysymys! Matematiikan laaja-alaisuutta arvostaa vasta kun koulut on käyty.

Matematiikassa on paljon kiehtovia osa-alueita kuten logaritmit, integraalit, yhtälöt polynomit ym. Omasta mielestäni laaja-alaisuus matematiikan opetuksessa olisi hyväksi.

Lukio-opetuksessa voisi esitellä yliopiston matematiikan kurssien sisältöä. Se voisi luoda kiinnostusta ainakin matemaattisesti orientoituneille oppilaille, jotka aikovat opiskella esim. insinööreiksi. Tuossa tietämyksen laajentamisessa voi kuitenkin ajan puute tulla esteeksi.”

Jukka Mäkinen • 26.1.2012 23:35 • #

Tämä OPS-suunnitelma vaikutti jo ensisilmäyksellä pyörryttävältä utopialta (tai pikemminkin dystopialta), joka panee uusiksi koko suomalaisen koulujärjestelmän yläkoulusta yliopistoon. Se uupunut ja osin väärin valikoitunut viisi prosenttia ikäluokasta, joka tämän karsinnan läpäisee, tuskin ratkaisee Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettamisen ongelmia. Jos niitä edes on.

Tarkempi lukeminen pysähtyi jo alakouluun:

“Osittamisen, eli jakamisen ymmärtäminen: esimerkiksi jakolasku 1/2 jaettuna 1/4:lla tarkoittaa, kuinka monta neljäsosaa mahtuu yhteen kahdesosaan.”

Mutta tässähän nimenomaan ei ole kyse osittamisesta (ositusjaosta) vaan sisältöjaosta. Murtolukulaskennnan mallintaminen on aidosti vaikeata ja vaatii opettajalta suurta ammattitaitoa. Yo. jakolasku voidaan mallintaa sisältöjaolla, mutta esimerkiksi jakolasku 1/2 : 3 voidaan mallintaa vain ositusjaolla.

Tätä asiaa olen joskus pohdiskellut, kun olen yliopiston matematiikan laitoksella opettanut tulevia matematiikan opettajia. Kun olen kysynyt, mitä tarkoittavat ositusjako ja sisältöjako, kukaan ei ole koskaan tiennyt. Siis lisäkoulutuksen paikka muillekin kuin Heikki Pokelalle.

Ja kuten sanottu, juuri muuta en ole jaksanut lukea. Ja kahta edellistä OPS:aa tehneenä tiedän, että onneksi sitä ei tehdä näin. Ainakin tähän asti OPS on tehty asiantuntijoiden voimin.

Simo Kivelän kommentit vaikuttavat viisailta. Muun muassa koskien symbolisia laskimia. Ei ole mitään järkeä enään drillata esimerkiksi yhdistettyjen funktioiden (loppujen lopuksi mekaanista) integrointia. Nyt pitää vakavasti miettiä ja kokeilla, kuinka synbolisia laskimia voidaan oikeasti hyödyntää käsitteenmuodostuksessa ja ymmärtämisen lisäämisessä.

Heikki Pokela • 27.1.2012 15:17 • #

Jukka Mäkinen kommentoi:

” Tämä OPS-suunnitelma vaikutti jo ensisilmäyksellä pyörryttävältä utopialta (tai pikemminkin dystopialta), joka panee uusiksi koko suomalaisen koulujärjestelmän yläkoulusta yliopistoon.”

ja päästyään OPS-ehdotuksen alakoulua koskevan osan loppuun hän toteaa:

” Ja kuten sanottu, juuri muuta en ole jaksanut lukea.”

Kiitos, että olet jaksanut noinkin pitkälle sisällöltään varsin puuduttavaa artikkelia.

Jukka M.:

” Tätä asiaa olen joskus pohdiskellut, kun olen yliopiston matematiikan laitoksella opettanut tulevia matematiikan opettajia. Kun olen kysynyt, mitä tarkoittavat ositusjako ja sisältöjako, kukaan ei ole koskaan tiennyt.”

Olisiko aika pohtia tulevien aineenopettajien osaamista myös pidemmälle vietyjen sisältöjen osalta – ja huolehtia, että aineosaaminen säilyisi myös tulevaisuudessa? Mäkisen eläkkeelle jäänyt kollega O. Syvähuoko totesi kerran lakonisesti uusien opetusharjoittelijoiden tasosta: ”ei ole harvinaista, että opetusharjoittelijat pyytävät, ettei laitettaisi ainakaan sitä pitkää matematiikkaa opettamaan”.

Jukka M. kertoo mielipiteenään OPS-ehdotuksen mukaisen opetuksen läpäisseiden oppilaiden kohtalosta:

” Se uupunut ja osin väärin valikoitunut viisi prosenttia ikäluokasta, joka tämän karsinnan läpäisee, tuskin ratkaisee Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettamisen ongelmia. Jos niitä edes on.”

Kun olen opettajaopintoja tehdessäni kysynyt didaktikoilta ja ohjaavilta opettajilta, mitä ongelmia on esimerkiksi TKK:n alkuvaiheen matematiikan opinnoissa (tai mitä niiden sisältövaatimukset ovat), kukaan ei ole koskaan tiennyt niitä. Tässä voisi olla lisäkoulutuksen paikka.

Lisäksi Mäkisen kommentti ”jos niitä [TKK:n matematiikan opetuksen ongelmia] edes on” kuvastaa tämän tilanteen luonnetta. Jatko-opiskelun ongelmat on häivytetty OPSin laadinnasta. Kuten täällä aiemmin Insinööritäti mainitsi, OPH on hakee lausuntoja tuntijaosta ja OPSista kaikilta muilta paitsi jatko-opintopaikkojen opettajilta.

Ongelmat koskevat muitakin kuin TKK:a. Ammattikouluissa heitetään tikkaa, jotta opittaisiin laskemaan yhteen positiivisia lukuja, ammattikorkeissa joudutaan lähtemään liikkeelle yläkoulun sisällöistä ja korkeakouluissa havaitaan selkeitä puutteita pitkän matematiikan olennaisten asioiden hallinnassa.

En malta olla toistamatta OPSia laatineen Mäkisen kommenttia näistä ongelmista:

”Jos niitä edes on.”

Jukka M.:

” Ja kahta edellistä OPS:aa tehneenä tiedän, että onneksi sitä ei tehdä näin. Ainakin tähän asti OPS on tehty asiantuntijoiden voimin.”

Tästä kommentista huolimatta en aio provosoitua ruotimaan nykyistä OPSia laatineiden henkilöiden asiantuntijuutta. Pitäisin tärkeämpänä, että asiantuntijuus näkyisi seuraavan OPSin laatimistyön lopputuloksesta.

Jokainen voi halutessaan perehtyä nykyisestä OPSista esitettyyn yksityiskohtaiseen kritiikkiin Solmun sivuilla:

http://solmu.math.helsinki.fi/2009/ma_ops.pdf

Simo Kivelän kommentit ovat mielestäni suurelta osin viisaita. Poimin niistä kaksi kohtaa:

” Kyse ei ole siitä, että apuvälineitä ei saisi tarvittaessa käyttää, mutta tarve ei saisi tulla vastaan liian usein eikä liian yksinkertaisissa yhteyksissä, koska se häiritsee johonkin monimutkaisempaan asiaan keskittymistä.”

ja

” 2) Algebrallisia lausekkeita tulisi oppia käsittelemään: sieventämään ja muokkaamaan. Sähköiset apuvälineet auttavat tekemään virheetöntä työtä, mutta sieventäminen ja muokkaaminen ei ole mekaanista vaan tarkoitushakuista: pyritään johonkin, josta voidaan nähdä tai päätellä jotakin. Laskijalla itsellään täytyy olla näkemys tästä, enkä oikein usko, että tämän oppimiseen on muuta tietä kuin laskea itse, mieluiten kynällä ja paperilla.”

Jos Mäkisen ehdotuksen mukaisesti ei enää drillata yhdistettyjen funktioiden integrointia, epäilen tämän johtavan juuri siihen mistä Kivelä varoittaa: tämä häiritsisi (yhdistettyihin funktioihin liittyviin) monimutkaisempiin asioihin keskittymistä eli asioita joihin opiskelija törmää jatko-opinnoissa. Ilman mekaanista treeniä – siis Markku Halmetojan kuvaamaa takapihaharjoittelua – työkalut uuden asian oppimiseksi puuttuvat.

Insinööritäti • 27.1.2012 21:33 • #

Kommentti symbolisiin laskimiin:
Olisiko syytä siirtyä hyodyntämään symbolisia ohjelmistoja PC:llä, jolloin käytössä olisi kunnon näyttö (värit + riittävästi pikseleitä)?
Monella lukiolaisella on muutenkin jo läppäri. Symbolisten ohjelmistojen koululisensseissä näyttää olevan ale menossa.

Jukka Mäkinen • 27.1.2012 22:50 • #

Heikki Pokelalle pieni väärän tiedon korjaus.

Ainakin nykyisen ja edellisen lukion OPS:n laadinnassa ovat yliopistojen ja tekniikan alan oppilaitosten edustajat olleet mukana ryhmän jäseninä, lausunnonantajina ja ryhmän kokouksiin kutsuttuina asiantuntijoina. Insinööritädin tiedot ovat vääriä.

Insinööritäti • 28.1.2012 16:47 • #

Insinööritädin tiedot pohjautuvat Koulutuksen arviointineuvoston julkaisuihin 52 sekä 55.
Pyytäisin tutustumaan niihin, jotta voimme keskustella samasta asiasta. Julkaisut löytyvät osoitteesta:

http://www.edev.fi/portal/julkaisu

Simo Kivelä • 28.1.2012 18:44 • #

Heikki Pokela:

“Jos Mäkisen ehdotuksen mukaisesti ei enää drillata yhdistettyjen funktioiden integrointia, epäilen tämän johtavan juuri siihen mistä Kivelä varoittaa: tämä häiritsisi (yhdistettyihin funktioihin liittyviin) monimutkaisempiin asioihin keskittymistä eli asioita joihin opiskelija törmää jatko-opinnoissa. Ilman mekaanista treeniä – siis Markku Halmetojan kuvaamaa takapihaharjoittelua – työkalut uuden asian oppimiseksi puuttuvat.”

En varoita drillauksen puutteesta, vaan katson, että opiskelijalle tulisi syntyä sekä kyky että halu algebrallisiin manipulointeihin. Jos näin on, niin integroinnin sijoitusmenettelyn opettamisen jälkeen opiskelija voi itse harjaannuttaa itsensä vaikkapa tyyppiä int_f(g(x))g’(x)dx oleviin integraaleihin. Pelkään, että drillauksen liiallinen korostaminen johtaa näkemykseen matematiikan temppukokoelmasta.

Integroimistekniikan – ja muiden vastaavien asioiden – tarpeellisuutta symbolisen laskennan aikakaudella tulisi tarkoin miettiä. Hyviä asioitahan ne ovat, mutta kyse on prioriteettijärjestyksestä, kun kaikkea ei voi saada.

Insinööritädin kommentti symbolisten ohjelmistojen suosimisesta laskimien kustannuksella osuu täsmälleen oikeaan. Taustaksi: http://matta.hut.fi/matta3/SymbLask/, http://intmath.org/home/kivela/blog/?focus=93.

Heikki Pokela • 30.1.2012 9:08 • #

Simo Kivelä otti esille todistamisen harjoittelulle sopivan aihealueen etsimisen lukion pitkässä matematiikassa. Lukuteoria on siihen tarkoitukseen mitä mainioin, mutta mielestäni tasogeometriaan perinteisesti liittyneestä todistusjaksosta tulisi myös pitää kiinni – tai pikemminkin ottaa se uudestaan käyttöön. Kuten Kivelä mainitsee, tähän liittyy päättäminen siitä, miten ”syvältä” lähdetään liikkeelle. Olisiko mahdollista tyytyä joissain tapauksissa oppilaille intuitiivisella tasolla selviin määritelmiin, joista liikkeelle lähdettynä kuitenkin kykenisimme harjoituttamaan tasogeometrian todistustekniikkaa ja sitä kautta parantamaan oppilaan valmiuksia ymmärtää matematiikkaa?

Tässä ehdotus kurssin MA3 sisällöksi.

= = = = = = = = = = (1/3 kurssia)
Tasogeometriaa.

Kolmioiden yhdenmuotoisuus kulmien ja vastinsivujen avulla. Oppilas hahmottaa, mitkä ehdot ovat riittäviä yhdenmuotoisuudelle.

Yläkoulussa tulisi ysiluokalla käsitellä mm. kolmioiden yhdenmuotoisuuden alkeet ja ympyrän kehäkulmiin liittyvät peruslauseet: jännenelikulmio (vastinkulmien summa 180 astetta), suorakulmainen kolmio ympyrässä sekä joitakin kiinnostavia tuloksia kuten esimerkiksi Simsonin suora. Kolmioiden merkillisistä pisteistä voisi jotain ottaa yläkouluun. Kolmion kulmien summa ja Pythagoraan lause kuuluvat myös yläkoulussa todistettaviin väittämiin.

Edellisen kohdan pohjatiedoilla yläkoulusta kurssia MA3 ei tarvitsisi aloittaa tyhjästä kuten nykyään ja kurssi voisi sisältää tässä kohden mm. kolmion merkilliset pisteet, pisteen potenssin, kulmanpuolittajien, Ptolemaioksen, Thalesin ja Menelaoksen lauseet.

= = = = = = = = = = (1/4 kurssia)
Trigonometriset funktiot, yksikköympyrä ja radiaani.

Trigonometristen funktioiden esittely yksikköympyrän avulla. Trigonometria identiteettejä yksikköympyrän avulla (mm. kulmat, jotka ovat yli 90 astetta). Tässä yhteydessä on harjoiteltava myös yksinkertaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotta asia ei olisi aivan uusi lukion kakkosvuoden kurssilla MA9, jolloin trigonometrisiin yhtälöihin liittyvä differentiaali- ja integraalilaskenta otetaan käyttöön.

Koska yläkoulussa on käsitelty kantavektorit i ja j ja se, että yhtälöstä ai + bj = ci + dj seuraa a = c ja b = d, voidaan sujuvasti perustella sinin parittomuus ja kosinin parillisuus.

Radiaani.
Sini- ja kosinilauseiden todistukset ja sovelluksia.

= = = = = = = = = = (1/4 kurssia)
Vektoreiden käyttö tasogeometriassa.

Koska vektoreiden alkeet on esitetty yläkoulussa (laskutoimitukset ja projektio suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla), eteneminen skalaarituloon on pohjustettu aiemmin kurssilla esitetyn yksikköympyrän ja tylppien kulmien trigonometrian jälkeen. Vektoreiden laskutoimitukset, kuten esimerkiksi t(a + b) = ta +tb, missä t on reaaliluku ja a ja b vektoreita, voidaan lukiossa perustella paremmin klassiseen geometriaan – tässä tapauksessa yhdenmuotoisuuteen – perustuen kuin mitä yläkoulussa ehkä voidaan tehdä.

Sopivia esimerkkejä vektoreiden käytöstä tasogeometriassa olisi mm. todistaa, miksi ympyrässä oleva kolmio, jolla yksi sivu on halkaisijalla, on suorakulmainen ja myös kolmion korkeusjanojen leikkauspiste. Todistus, että keskijanat leikkaavat toisensa suhteessa 2:1, antaa hyvän kuvan vektoreiden peruslaskutoimitusten tehosta. Kosinilauseen todistus vektoreilla.

= = = = = = = = = = (1/6 kurssia)
Napakoordinaatiston alkeet.

Paikkavektori yksikköympyrässä ja yleisissä origokeskeisissä ympyröissä. Koordinaattien ilmoittaminen etäisyyden ja kulman avulla. Ympyrän yhtälö napakoordinaateissa.

Vektoriopin ja trigonometrian yhteys on oltava kunnossa, jotta kurssilla MA9 voitaisiin ymmärtää trigonometristen funktioiden yhteen- ja vähennyslaskukaavat. Ko. kaavat puolestaan ovat olennaisia ymmärtää ennen monimutkaisempia trigonometrisia yhtälöitä.

Myös analyyttisestä geometriasta tulee huomattavasti mielekkäämpi, kun siinä on vektorioppi käytössä.

= = = = = = = = = =

Mahdollisia lisämateriaaleja oppilaille, jotka haluavat perehtyä geometriaan enemmän, voisivat olla esimerkiksi harppikonstruktiot ja kilpailutehtävät:

Tehdään kytkös edelliseen kurssiin (MA2) ja ratkotaan toisen asteen yhtälö geometrisesti harpin ja viivoittimen avulla.

Kultainen leikkaus janalle harpin avulla – ja todistetaan tulos.

Geometrian kilpailutehtäviä ja niihin valmentautumista, kts. Solmun sivuilta aiheeseen liittyviä tehtäväarkistoja: http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/

markku halmetoja • 30.1.2012 11:05 • #

Heikki P.: “Trigonometristen funktioiden esittely yksikköympyrän avulla. Trigonometria identiteettejä yksikköympyrän avulla (mm. kulmat, jotka ovat yli 90 astetta). Tässä yhteydessä on harjoiteltava myös yksinkertaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotta asia ei olisi aivan uusi lukion kakkosvuoden kurssilla MA9, jolloin trigonometrisiin yhtälöihin liittyvä differentiaali- ja integraalilaskenta otetaan käyttöön.”

Pitäisin tärkeänä, että trigonometriset funktiot mahdollisimman varhaisessa vaiheessa ymmärrettäisiin nimenomaan reaalifunktioiksi. Tämä edellyttää radiaaniin siirtymistä ja sinin ja kosinin määrittelyä yksikköympyrän avulla. Jääköön suorakulmaisen kolmion avulla tapahtuva määrittely peruskouluun. Radiaania tarvitaan fysiikassa pyörimisliikkeen yhteydessä jo ennen kuin on ehditty opiskella pitkän matematiikan nykyinen 9. kurssi; nykyopsissa asiat eivät siis ole synkronissa.
Nykyisessä opsissa nämä asiat on myöhäistetty 9.kurssiin, jolloin koko trigonometria tulee yhdessä rysäyksessä ja liian nopeasti keskimääräiselle kelvolliselle pitkän matematiikan opiskelijalle. Niinpä käytännön syistä tällä kurssilla joudutaan turvautumaan kaavakokoelmaan ja ulkolukuun, ja esimerkiksi kosinin ja sinin yhteenlaskukaavoja ei perustella. Juuri näihin kaavoihin kiteytyy kuitenkin trigonometrian opiskelu lukiossa, koska niiden avulla voi johtaa melkein kaikki muut tarvittavat ominaisuudet. Vanhassa Leinon, Lehtosaaren ja Norlamon kirjassa asiat olivat tältäosin kunnossa, ja muistojen verestämiseksi kirjoitin tästä jutun Solmuun 1/2012. Siinä näytetään, missä järjestyksessä trigonometristen funktioiden ominaisuudet järkevästi voisi käsitellä. Menetelmä edellyttää hieman vektorioppiakin, eli tuon Heikin mainitseman:
“yhtälöstä ai + bj = ci + dj seuraa a = c ja b = d”, ja sen lisäksi tarvitaan ainoastaan näiden funktioiden kosinin parillisuus, sinin parittomuus ja näiden funktioiden yksikköympyrästä saatavia arvoja tietyissä erikoispisteissä.

Tämä on ainoa järkevä pohja, jolta voi kurottautua trigonometristen funktioiden differentiaalilaskentaa kohti. Trigonometrian osalta tuleva ops olisi siis rakennettava tältä pohjalta. Kaikki muu on asioiden syvällisen oppimisen kannalta täyttä pelleilyä.

markku halmetoja • 2.2.2012 10:32 • #

Heikki Pokelan aloittamaa ops-keskustelua on aiheellista jatkaa, vaikka Jukka Mäkinen siihen hieman skeptisesti suhtautuikin. Nykyisessä on nimittäin paljon puutteita ja epäjohdonmukaisuuksia, ja jos seuraava rakennetaan vanhalle pohjalle vielä uuden laskimen mahdollisuuksia korostaen, niin on pelättävissä, että pääasia eli matematiikka jää lukiolaisilta kokonaan näkemättä ja kokematta. Seuraavassa muutama ajatus geometrian kolmen kurssin muodostamasta kokonaisuudesta. Esitän käsitykseni asioiden esittämisjärjestyksestä lyhyesti perustellen, mutta en ota kantaa yksityiskohtaiseen sisältöön.

1.) Opiskelu on aloitettava perinteisellä geometrialla, jossa deduktion lähtökohdiksi otetaan kolmioiden yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuslauseet, yhdensuuntaisuusaksiooma ja samankohtaisia kulmia koskeva lause. Vaikka viimeksimainitut eivät ole toisistaan riippumattomia, niin se ei koulumatematiikassa aiheuta ongelmia eikä asiaa ole syytä problematisoida. Lisäksi on vielä otettava oppilaan silmissä ehkä turhiltakin tuntuvat aksioomat: kaksi pistettä määrää suoran ja jokaisen suoran ulkopuolella on vähintään yksi piste. Näillä työkaluilla voi harrastaa hieman päättelyä ja todistaa suunnilleen nykyisessä kurssissa olevat asiat. Deduktiivinen osa antaa oppilaalle näkemyksen matematiikasta eksaktina tieteenä, jossa väittämät on perusteltava.
2.) Radiaanin määrittely ja trigonometriset funktiot yksikköympyrän avulla. Todetaan jaksollisuus, sinin parittomuus ja kosinin parillisuus. Määritellään tangentti ja todetaan sen jakso ja parittomuus. Piirretään kuvaajat ja ratkaistaan yksinkertaisia yhtälöitä kuten sin x =1, cos x = -1, tan x = -1. Sinilause ja kosinilause sovelluksineen käsitellään tässä kohdassa.
3.) Vektoriopin alkeet sisältäen peruslaskutoimitusten jälkeen vektorit xy-tasolla ja skalaaritulon sovelluksineen.
4.) Analyyttisen geometrian osuus, joka lähtee xy-tason suorien vektoriyhtälöistä, joiden kautta päädytään suoran normaaliyhtälöön. Tässä yhteydessä käsitellään seikkaperäisesti suorien parametriesityksiä, mikä luo pohjaa vaikeampien käyrien parametriesityksille. Suorien välinen kulma käsitellään vektorien avulla. Pisteen etäisyys suorasta johdetaan vektoreitä käyttäen, jolloin saadaan asialle “dimensiovapaa” todistus. Kartioleikkaukset käsitellään yhtenäisen uraehdon avulla, kuten Heikki alkuperäisessä tekstissään esitti.
5.) Avaruusgeometrian osuudessa kerrataan tilavuuksia yms., ja käsitellään vektorit xyz-koordinaatistossa. Sovelluksena 3-ulotteisen avaruuden suorat ja tasot. Tässä huomataan, että tason yhtälö edellyttää kaksimuuttujaista paremetriesitystä, kun suoralle riittää yksi parametri. Tämä asia luo pohjaa yleisempien pintojen tutkimiseen. Vektoritulo voidaan ottaa tähän kohtaan syventäväksi ja suositeltavaksi asiaksi.
6.) Todistetaan sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat ja johdetaan niiden avulla tärkeimmät trigonometristen funktioiden ominaisuudet. ratkaistaan vaativampia trig. yhtälöitä, jolloin nämä funktiot tulevat tutuiksi nimenomaan reaalifunktioina. Tällä saadaan tarvittava pohja sille, että myöhemmin näiden funktioiden kanssa harrastetaan differentiaalilaskentaa.

Nähdäkseni tässä kuuden kohdan ohjelmassa asiat ovat melko loogisessa järjestyksessä. Kolmen kurssin yksityiskohtaisen sisällön voi laatia tältä pohjalta. Liian täyteen niitä ei saa ahtaa, vaan on oppilaalle annettava aikaa harjoitella ja sisäistää asiat. Trigonometriset funktiot koetaan vaikeiksi, ja siksi niiden esittäminen, kuten nykyops tekee, vasta differentiaalilaskennan yhteydessä on pedagoginen virhe. Tällaisten asioiden täytyy saada muhia oppilaiden mielissä ja on annettava aikaa harjoittelulle. Rauhassa tehty omatoiminen työ takaa oppimisen siinä laajuudessa ja syvyydessä, mitä jatko vaatii. Väisälähän tämän tajusi.

Heikki Pokela • 3.2.2012 11:49 • #

Trigonometria on yksi koulumatematiikan punaisista langoista.
Yläkoulussa sini ja kosini opetetaan suorakulmaisen kolmion avulla. Esityksen pitäytyminen lukiossa liian kauan suorakulmaisiin kolmioihin ja etenkin asteisiin radiaanien sijasta aiheuttaa sen, että sini ja kosini eivät jäsenny oppilaiden mielissä funktioiksi.

Nykyään vektorioppi jää trigonometriasta varsin erilliseksi osa-alueeksi ja yhteen- ja vähennyslaskukaavat jäävät näin ollen perustelematta ja myös käyttämättä trigonometristen identiteettien tarkastelussa, mikä taas vie pohjaa trigonometrisilta yhtälöiltä – ja myöhemmin differentiaalilaskennalta.

Koska radiaanit ovat nykyään kurssilla MA9 uusi tuttavuus, geometrisen raja-arvon (sinx)/x x->0 mieltäminen on ongelmallista. Jos tälläista raja-arvoa pitäisi tutkia yo-kokeessa numeerisesti pienillä x:n arvoilla, olen varma että iso osa abeista tunkisi lausekkeen nimittäjään asteita.

Sinin ja kosinin derivointikaavat jäävät keittokirjareseptien tasolle. Luma-Sanomien keskusteluissa viime keväänä tuli esille, kuinka jopa korkeakouluopiskelijat saattavat mieltää sinin ja kosinin lineaarisiksi funktioiksi. Ei siis ole ihme, jos trigonometristen funktioiden potensseja integroidaan kuin polynomeja (integrate (sinx)^3 dx= 1/4(sinx)^4 + C !!).

Yo-kokeesta on mahdollista kirjoittaa kaavakirjan ja laskimien tuella hyväkin arvosana (osaamatta) ja lähteä TKK:lle opiskelemaan. Siellä ensimmäisenä vuonna nopeassa tahdissa oppilasparan niskaan kaadetaan paikkavektorin toinen derivaatta ajan suhteen napakoordinaatistossa differentiaaliyhtälön jakamiseksi erisuuntaisiin komponentteihin. Lukiossa esitetyn gravitaatiovoiman GmM/r^2 nimittäjään ilmestyy r:n sijasta vektori-itseisarvo |r – r_o| etäisyyden, kulman ja ne puolestaan aikaparametrin suhteen muuttujina. Siitä sitten integroimaan polkua pitkin.

Opiskelun edetessä eteen tulevat ortogonaaliset integraalit (integrate sin(mx)cos(nx) dx) ja herra Fourierkin jo kurkkii omaa vuoroaan nurkan takaa kompleksisten trigonometristen funktioiden esittelyn jälkeen. Tunnelin päässä näkyy matematiikan sovelluskyky mm. taajuusanalyysiin, energiaspektreihin, virtausilmiöiden simulointiin, kvanttimekaniikkaan yms.

Jokainen voi helposti kuvitella, millaisen pohjan nykyinen OPS antaa jatko-opinnoille trigonometrian suhteen.

Ottaisin mukaan kurssien MA3 – MA5 keskusteluun myös kurssin MA9 sisällön, jotta saadaan hahmotettua trigonometriaa kokonaisuutena lukion osalta.

Kursseilla MA3-MA5 pitäisi käsitellä sopivassa kohdassa skalaaritulon jälkeen:
= = = = = = = = = =

Sini, kosini ja tangentti reaalifunktioina. Kuvaajat, parillisuus ja parittomuus.

Kahden vektorin välinen kulma yksikköympyrässä.
Napakoordinaatiston kantavektorit ja niiden kierto. Esitys voisi pohjautua Solmussa julkaistuun artikkeliin aiheesta:
http://solmu.math.helsinki.fi/2012/1/trigonometriaa.pdf
Tarkoitus on saada yhteen- ja vähennyslaskukaavojen tavallaan keskeinen asema trigonometrian osalta koulumatematiikassa näytettyä.
Trigonometrisia identiteettejä.
Yksinkertaisia trigonometrisia yhtälöitä.
= = = = = = = = = =

Tämän jälkeen kurssilla MA9:

= = = = = = = = = = 1/5 kurssia
Yhteen- ja vähennyslaskukaavojen kertaus.
Monimutkaisempia trigonometrisia identiteettejä ja – yhtälöitä.
Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot.

= = = = = = = = = = = 3/5 kurssia
Geometrinen raja-arvo (sinx)/x.
Trigonometristen funktioiden derivointi ja integrointi. Sovelluksia funktion tangentin approksimointiin ja ääriarvoihin. Syventävänä aiheena syklometristen funktioiden derivointia.

= = = = = = = = = = 1/5 kurssia
Napakoordinaatiston kantavektoreiden yhteys toisiinsa derivoinnissa. Skalaarimuuttujan vektoriarvoisen funktion derivaatta sovelluksineen.

= = = = = = = = = =

Muita geometrisia raja-arvoja, kuten esimerkiksi yo2007s/15
kts. http://matta.hut.fi/yoteht/s07p.pdf
olisi hyvä käsitellä esimerkiksi derivaattakurssilla (MA7) tai differentiaaliyhtälöiden yhteydessä
(MA13).

Jussi Nieminen • 3.2.2012 15:26 • #

Kommentoin vielä lähinnä peruskoulun matematiikan sisältöjä. Ymmärrän, että pelkästään lukiossa tai korkeakoulutasolla opettavat opettajat kovasti toivovat, että sitä ja tätä olisi opetettu jo peruskoulussa oppikouluajan “tasoa” muistellen. Usein kuitenkin tässä keskustelussa unohtuu se, että oppikoulun käyneiden ihmisten kertomusten perusteella siitä valikoidusta porukastakaan aika harva sisäisti esimerkiksi oppimäärään kuuluneita geometrian todistuksia. Kovasti niitä kopioitiin luokan priimuksen vihosta taululle joutumisen pelossa ainakin heidän tarinoissaan.

Jos oppikouluajan valikoiduissa ryhmissä vain pieni osa pysyi tahdissa mukana, koko ikäluokan osalta ollaan aika lähellä Jukka Mäkisen mainitsemaa viittä prosenttia. Ei sekä lahjakkaita että hurjaan työntekoon valmiita peruskoululaisia minunkaan ryhmistäni juuri tämän enempää löytyisi. Siksi esimerkiksi neliöksi täydentämisen opettamisen paikka ei minusta ole ollenkaan peruskoulussa eikä polynomien jakokulmankaan. Polynomilaskennan aloituksesta olen edelleen sitä mieltä, että 7. luokalla kirjaimiin kannattaa tutustua vain sellaisissa tilanteissa, joissa ne liittyvät esimerkiksi suorien yhtälöihin tai sopiviin malleihin kuten esimerkiksi janan pituus tai monikulmion pinta-ala.

On peruskoulun nykyisessä opetussuunnitelmassa ihan selviä heikkouksia minunkin mielestäni. Selvin virhe oli lisätä niihin tilasto-opista esimerkiksi keskilukuja ja hajontaa. Tämä aika on huomattavsti hyödyllisempää käyttää polynomilaskentaan, yhtälöihin ja yksinkertaisiin rationaalilausekkeisiin, joiden käsittelylle myöhemmät opinnot pohjautuvat.

Heikin esittämiä valtakunnallisia tasokokeita vastustan. Peruskoululla on myös kasvatuksellinen tehtävä. Liiallinen suorituspainotteisuus ja lasten jakaminen suoritusten perusteella jyviin ja akanoihin ei tukisi näitä tavoitteita. Eikä minusta matematiikalla ole mitään erikoisoikeutta saada tasokursseja. Silloin ne pitäisi palauttaa englantiin ja ruotsiinkin. Varmaan joku historianopettajakin tykkäisi tasoryhmistä. Tämä ei tule tapahtumaan. Jonkinlainen valinnaisuuteen perustuva ryhmittely 9. luokalla voisi olla realistisempi tavoite.

Polynomien jakaminen jakokulmassa on mielenkiintoinen kestosuosikki näissä keskusteluissa siksi, että itse en ole sitä tarvinnut juuri lainkaan lukion jälkeisissä opinnoissa. Kivahan se on osata, mutta oppimäärien sisällöt paisuvat aina kuin pullataikina, kun kaikki harvoinkin tarvittavat asiat, joita olisi “kiva osata”, sisällytetään mukaan. Keskustelussa esiintyneistä lukion sisältöalueista kannatan trigonometrian hieman perusteellisempaa käsittelyä. Nykyinen tilanne on todella vähän omituinen, kun lähes koko trigonometrian kaavakokoelma esiintyy pelkkänä ilmoitusmatematiikkana.

Simo Kivelän ajatukset symbolisten laskinten roolista vaikuttivat hyviltä. Minusta yliopisto- ja korkeakouluihmisten päätettäväksi pitää antaa se, mitä kaikkea sieventelyä, derivointia ja integrointia heille hakeutuvan opiskelijan pitää jatkossakin oppia tekemään lukiossa ilman apuvälineitä.

markku halmetoja • 4.2.2012 10:25 • #

Jussi Nieminen: “Usein kuitenkin tässä keskustelussa unohtuu se, että oppikoulun käyneiden ihmisten kertomusten perusteella siitä valikoidusta porukastakaan aika harva sisäisti esimerkiksi oppimäärään kuuluneita geometrian todistuksia. Kovasti niitä kopioitiin luokan priimuksen vihosta taululle joutumisen pelossa ainakin heidän tarinoissaan.”

Oppikoulun käyneenä en jaa tätä muistikuvaa. Ehkä se johtuu siitä, että minulla oli erinomainen opettaja Kai “Kaitsu” Salokoski; terveisiä vaan, jos satut näitä lueskelemaan.

Edelleen Jussi N:
“Jos oppikouluajan valikoiduissa ryhmissä vain pieni osa pysyi tahdissa mukana, koko ikäluokan osalta ollaan aika lähellä Jukka Mäkisen mainitsemaa viittä prosenttia.”

Oppikouluaikana tosiaan ehkä 5% ikäluokasta opiskeli pitkää matematiikkaa siitä jotakin ymmärtäen, mutta on muistettava, että rinnakkasikoulujärjestelmä oli sosiaaliseti erotteleva; yhteiskuntaan jäi lahjakkuusreservejä. Peruskouluaikana koko ikäluokka on koulussa. Tällöin matematiikasta jotakin ymmärtävien määrä lienee suurempi kuin 5%. Käsittääkseni tämä on yhteiskunnalle varsin tärkeä ryhmä. Oletteko tosiaan sitä mieltä, että heille ei kannata järjestää eriyttävää opiskelua tai että se olisi suorastaan vahingollista? Varmasti itse olette (Nieminen, Mäkinen) matemaattisesti hyvin kyvykkäitä. Ajatelkaapa itsenne murkkuikäisenä tekemässä päivät päästään samaa puuduttavaa kalkyyliä laskimella; innostaako? Eikö Pythagoraan lauseen perustelu eri tavoin olisi houkuttelevampaa? Entä kehäkulma-keskuskulma-teoreema? Eikö olisi mukavampi AJAELLA kuin suorittaa puuduttavia laskutehtäviä?

Tasokurssi-sanaa käytetään näissä keskusteluissa, koska se on helppo mieltää. Kukaan ei kuitenkaan tosissaan ola ajamassa vanhaan palaamista, vaan jonkinlaista joustavaa eriyttämistä, kuitenkin niin, että opseja olisi kaksi.

Jorma Merikoski • 4.2.2012 22:39 • #

Minun on puolestani jaettava Niemisen mainitsema muistikuva. Uskallan väittää, että 50-luvullakin useimmilta pitkän matematiikan lukijoilta jäi matematiikka ymmärtämättä. Ei silloinkaan vitoseen vaadittu juuri mitään eikä silloinkaan matematiikka ollut koululaisten enemmistön suosiossa. Mutta niille, jotka viitsivät kunnolla tehdä töitä, keskikoulun matematiikka antoi hyvän perustan lukion pitkälle matematiikalle, mikä puolestaan antoi hyvän perustan matemaattis-luonnontieteellis-teknisille jatko-opinnoille.

markku halmetoja • 4.2.2012 23:02 • #

Jos se prosenttiluku on vaikka vain tuo 5, niin se tekee noin 3000 oppilasta, ja heidän resurssinsa jää nykysysteemissä hyödyntämättä, jos katsotaan kylmästi taloudellisesta näkövinkkelistä. Toinen asia on sitten heidän henkilökohtaiset oikeutensa saada arvolleen sopivaa koulutusta. On tämä vaan typerä yhteiskunta, kun se ei tue nuorisonsa etevintä osaa. Miksi maan johtavat pedagogit tukevat tätä vääryyttä?

Jukka Mäkinen • 5.2.2012 1:16 • #

Ehkä olin matemaattisesti kyvykäs, mutta murrosiän melskeissä taisi olla tärkeämpääkin ajateltavaa kuin Pythagoraan lauseen todistus.

Joihinkin keskustelun teemoihin palaan paremmalla ajalla.

Jukka Mäkinen • 5.2.2012 1:41 • #

Ja edelliseen vielä lisäys:

Sitä paitsi opiskelin lyhyttä matematiikkaa, koska maalaislukioni ei muuta tarjonnut. Yliopistossa en juuri huomannut olevani muista jäljessä. Muistan vain ensimmäiseltä syksyltä Algebra I välikokeen (opettajana Olli Martio), jossa esiintyi kirjain e. En ollut Neperin luvusta koskaan kuullut, joten jouduin ratkaisemaan tehtävän vaikeasti: jos e < 1, niin jne.

Lyhyen matematiikan lukijoita on ollut Helsingin yliopistossa matematiikan professoreina ja muissa keskeissä matematiikan koulutuksen tehtävissä. Heikki Pokelan OPS tukehduttaisi nuorten luontaisen kasvun matematiikan maailmaan.

markku halmetoja • 5.2.2012 14:16 • #

Jukka Mäkinen:
“Sitä paitsi opiskelin lyhyttä matematiikkaa, koska maalaislukioni ei muuta tarjonnut. Yliopistossa en juuri huomannut olevani muista jäljessä. Muistan vain ensimmäiseltä syksyltä Algebra I välikokeen (opettajana Olli Martio), jossa esiintyi kirjain e. En ollut Neperin luvusta koskaan kuullut, joten jouduin ratkaisemaan tehtävän vaikeasti: jos e < 1, niin jne.”

Matematiikan opetusta suurille joukoille ei kuitenkaan voi järjestää tällaisten henkilökohtaisten sankaritarinoiden varaan.
Kuten on moneen kertaan todettu, Väisälä oli myös erittäin etevä matematiikassa, mutta hänellä oli kyky asettua tavallisen oppijan asemaan, ja niinpä hän oppimateriaaleissaan pohjusti asiat kunnollisesti. En tarkoita, että meidän tulisi ottaa hänen oppikirjansa uudestaan käyttöön, vaan sitä, että opsit ja oppimateriaalit rakennettaisiin tällaisen pohjustamisen varaan. Se osa ikäluokasta, joka aikanaan väittelee matematiikassa ja päätyy alan tutkijoiksi, saattaa kyetä Mäkisen kaltaisiin suorituksiin, mutta matematiikkaa sovelluksineen tarvitaan yhteiskunnassa paljon laajemmin, ja vaikkapa ikäluokan neljänneksen saattaminen kunnollisen oppimisen piiriin ei tapahdu esimerkiksi nykyisen lyhyen matematiikan oppimäärän avulla. (Mäkisen nuoruudessa lyhytkin matematiikka oli matematiikkaa. Muistaisin nähneeni sen aikaisia lyhyen matematiikan yo-tehtäviä myöhemmin valtakunnalisen matematiikkakilpailun tehtävinä.)

Mäkinen edelleen:
“Lyhyen matematiikan lukijoita on ollut Helsingin yliopistossa matematiikan professoreina ja muissa keskeissä matematiikan koulutuksen tehtävissä. Heikki Pokelan OPS tukehduttaisi nuorten luontaisen kasvun matematiikan maailmaan.”

Toivottavasti ainakin opetushallituksen asioista vastaavat näkevät tämän. Mäkisen mukaan matematiikan perusteellinen kouluopetus siis “tukehduttaa nuorten luontaisen kasvun matematiikan maailmaan”. Mitkä ovat tämän viisauden käytännölliset seuraukset tuntijakoja, opseja ja oppimateriaaleja suunniteltaessa?

Karu totuus kuitenkin on, suuri osa ikäluokasta ei 9-vuotisen peruskoulun jälkeen hallitse edes peruslaskutoimituksia, mikä ammatillisten oppilaitosten arjessa näkyy suurena keskeyttämisprosenttina ja ao. nuorten kohdalla syrjäytymisenä yhteiskunnasta. Teknisen alan amk-opinnoissa puolestaan joudutaan useimmiten aloittamaan positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskulla, vaikka opiskelijat ovat lukion käyneitä. Perimmäisiä asioita ei siis ole sisäistetty, vaan niiden yli on luisteltu laskimia ja kaavakokoelmia käyttäen. Tämä kehitys jatkuu ja syvenee, mikäli tulevassa perusopetuksen tuntijakoesitykseen ei sisälly eriyttämisen mahdollisuutta ja tulevia opseja laadittaessa ei oteta huomioon Väisälän käytäntöä, eli opittavan asian kunnollista pohjustamista ja riittävää ja monipuolista harjoitusta.

Simo Kivelä • 5.2.2012 14:33 • #

Jos nyt menneitä muistelen minäkin, niin jaan kyllä Niemisen ja Merikosken muistikuvat. Kyseessä oli helsinkiläinen ainakin nykyään kärkisijoilla esiintyvä koulu. Lukiossa tosin luin lyhyen matematiikan, kun alun perin kielilinjalle lähtenyt ei muutakaan voinut. En katso matematiikan suhteen kovin paljon menettäneeni: silloinen lyhyen ja pitkän ero vastasi ehkä parin viikon töitä yliopistotasolla.

Tietyt perustaidot – mitä ne sitten nykyään olisivatkin – on hyvä oppia koulussa, samoin jonkinlainen näkemys siitä, mitä matematiikka on ja mihin se kelpaa. Ns. drillaukseen suhtaudun epäillen riippuen toki siitä, mitä sillä oikein tarkoitetaan. Periaatteessa samanlaisten tehtävien laskeminen toinen toisensa jälkeen tuskin innostaa ketään, mutta ainakin itse koin kiinnostavaksi haasteeksi Väisälän ykköskirjan lopussa olevat sievennystehtävät. Yhtä näistä olen käyttänyt esimerkkinä sievennyksestä Iso-M- tietosanakirjassani: http://matta.hut.fi/matta2/isom/pdf/murtolv.pdf, sivu 2.

markku halmetoja • 5.2.2012 15:08 • #

Simo Kivelä:
“Ns. drillaukseen suhtaudun epäillen riippuen toki siitä, mitä sillä oikein tarkoitetaan. Periaatteessa samanlaisten tehtävien laskeminen toinen toisensa jälkeen tuskin innostaa ketään, mutta ainakin itse koin kiinnostavaksi haasteeksi Väisälän ykköskirjan lopussa olevat sievennystehtävät. Yhtä näistä olen käyttänyt esimerkkinä sievennyksestä Iso-M- tietosanakirjassani: http://matta.hut.fi/matta2/isom/pdf/murtolv.pdf, sivu 2.”

Juuri tätä olen tarkoittanut kunnollisella harjaantumisella. Sivumennen todeten, tuota tehtävää seuraa ympyrän ja hyperbelin parametriesitykset, mikä on esimerkki Väisälän juonikkaasta pedagogiista. Edellä taas on käytännöllisesti katsoen toisen asteen yhtälön ratkaisukaava.

Koin itse tämänkaltaiset tehtävät keskikoulussa erittäin mielenkiintoisiksi ja haastaviksi. Niistä selviäminen antoi mielihyvän tunteen ja itseluottamusta kohdata uusia haasteita matematiikassa. Valitettavasti nykynuorisolta on viety mahdollisuudet samantapaisiin kokemuksiin.

Heikki Pokela • 5.2.2012 17:23 • #

Jussi Nieminen nosti esille pohdinnan arvoisia ongelmakohtia.

Osasta niistä olen hänen kanssaan melko samaa mieltä, osaan haluaisin tuoda esille laajemman näkökulman ja joistakin kohdista valitsen erilaisen johtopäätöksen.

Jussi N.:

”Peruskoululla on myös kasvatuksellinen tehtävä.”

On tullut vastaan tilanteita, joissa opiskelijan ilmiselvän henkisen romahduksen (näkynyt hysteerisenä itkunpurskauksena tai tavaroiden heittelynä käytävällä tms.) jälkeen on hetki keskusteltu tunnin jälkeen luokassa. Ei ole ensimmäinen kerta, että olen saattanut (tai kehottanut hakeutumaan) YTHS:n vastaanotolle saamaan apua. Tämä siis TKK:lla. Tuskin tarvitsee mainostaa, että yhtenä laukaisevana tekijänä on ollut heikoksi jäänyt matemaattinen rutiini kun ongelmia on hieman purettu yhdessä. Missään vaiheessa opintoja aiemmissa oppilaitoksissa ei ollut opetettu oikeaa työnteon mallia.

Opetussuunnitelmilla ei saada opiskelijoiden taustatekijöitä kuntoon, mutta hyvät ja oikein kohdennetut OPSit ovat käsittääkseni tärkeitä nimenomaan niille, jotka ovat syrjäytymisvaarassa. Heikko OPS aiheuttaa ongelmia pitkällä tähtäimellä peruskoulua seuraavissa oppilaitoksissa. Matematiikan opiskelussa korostuu pitkäjänteinen työ loogisen kokonaisuuden ymmärtämiseksi. Tästä tulee pitää kiinni jatkossakin. Koko ikäluokan pitäminen samassa opetuksessa vielä yläkoulun loppuvaiheessakin ei tue mahdollisuuksia hyvään lopputulokseen.

On perin vaikeaa ymmärtää, miksi peruskoulun ”kasvatuksellisen tehtävän” sallitaan aiheuttaa ihmisille ongelmia myöhemmässä (koulu)elämässään.

Äskettäinhän julkaistiin tieto, että kymmeniä tuhansia nuoria on ”kadoksissa” vailla peruskoulun jälkeistä tutkintoa tai työpaikkaa. Luulisi tämän herättelevän tarkastelemaan peruskoulua kriittisemmin.

Jussi N.:

”Eikä minusta matematiikalla ole mitään erikoisoikeutta saada tasokursseja. Silloin ne pitäisi palauttaa englantiin ja ruotsiinkin. Varmaan joku historianopettajakin tykkäisi tasoryhmistä. ”

Vielä nykyäänkin on (onneksi) lukiossa matematiikan tasoryhmät: on otettava joko laaja tai suppea oppimäärä. Tässä suhteessa matematiikalla on erityisasema. Toki myös kielissä on tarjolla koulusta ja paikkakunnasta riippuen erilaajuisia oppimääriä, mutta vain matematiikassa on valittava jompikumpi laajuus – valtakunnallisesti.

Tähän matikan erityisasemaan lienee syynsä.

Matematiikassa opetuksen historia tuntee tasoryhmien käyttöä ehkä enemmän kuin missään muussa teoria-aineessa.

Tähänkin lienee syynsä.

Arvostan toki muita oppiaineita ja myös niiden oppimistuloksiin olisi satsattava, mutta tässä ryhmittelyasiassa en ole kuullut muiden aineiden kollegoiltani mitään vastalauseita siihen, että omassa työpaikassani järjestetään matematiikan tasoryhmät myös pitkän matematiikan sisälle, mikä tietenkin rajaa kurssitarjotinta siten, että opiskelijan täytyy ottaa muiden oppiaineiden ryhmiä lukujärjestykseensä valitessaan huomioon se, minkä tasoisen pitkän matikan hän aikoo lukea, jos lukee pitkää.

Heikki Pokela • 5.2.2012 17:35 • #

Jussi N:

”Polynomien jakaminen jakokulmassa on mielenkiintoinen kestosuosikki näissä keskusteluissa siksi, että itse en ole sitä tarvinnut juuri lainkaan lukion jälkeisissä opinnoissa. Kivahan se on osata, mutta oppimäärien sisällöt paisuvat aina kuin pullataikina, kun kaikki harvoinkin tarvittavat asiat, joita olisi “kiva osata”, sisällytetään mukaan. ”

Polynomien jakokulman olennaisuus on että se nostaa aiemmin opitun ”alakoulujakokulman” uudelle tasolle. Ikäänkuin matemaattinen ajattelutaito ylennetään. On myös hyödyllistä kokeilla jakokulmaa muussa kuin kymmenkantaisessa järjestelmässä – tämä muuten on TKK:n laajan matematiikan opintojen ihan alussa pian luonnollisten lukujen ja kunta-aksioomien määrittelyn jälkeen.

Lukiossa ja myös jatko-opinnoissa jakokulmalle löytyy käyttöä mm. asymptoottien haussa tai rationaalilausekkeen integroinnissa.

Kysymys jakokokulmasta on vähän sama kuin kysyisi, onko kolmion Gergonnen pisteelle ollut paljon insinöörisovelluksia. Välttämättä ei suoranaisesti, mutta tasogeometrian ymmärtämiseen tämänkin pisteen ominaisuuksien tarkastelu auttaa. Tasogeometrian ymmärtäminen on olennaista edettäessä differentiaaligeometriaan ja tensoreihin – noihin mukaviin otuksiin, jotka säilyttävät muotonsa koordinaatistomuunnoksissa ja niiden avulla esimerkiksi fysiikan mallinnus pysyy (numeerisessa simuloinnissa) kovariantissa muodossa. Ja hupsista, sovelluksia löytyy.

Jussi N.:

”Minusta yliopisto- ja korkeakouluihmisten päätettäväksi pitää antaa se, mitä kaikkea sieventelyä, derivointia ja integrointia heille hakeutuvan opiskelijan pitää jatkossakin oppia tekemään lukiossa ilman apuvälineitä.”

Kyllä – ja tässä asiassa olisi kuultava heitä mahdollisimman kattavasti.

Jos jotain yksittäisiä kohtia pitäisi mainita, niin mielestäni lukiossa eteneminen yksinkertaisimpiin differentiaaliyhtälöihin (y’ = a(x)y ja y’ + a(x)y = b(x)) on henkinen takaseinä; tästä on vaikea antaa periksi. Nämä yhtälöt sovelluksineen ovat keskeisessä asemassa esimerkiksi teknillisten alojen matematiikan opintojen alussa. Toinen samaan kategoriaan kuuluva asia on napakoordinaatit.

Heikki Pokela • 5.2.2012 17:43 • #

Kehitys lähtee tosiasioiden myöntämisestä. Näin on eräs presidenttimme lausunut.

Näyttää siltä, että nyt tässä myöntämisessä on ongelmia. Huolimatta

- Liisa Pullin diplomityön varsin kattavasta esityksestä lähdeviitteineen http://dspace.cc.tut.fi/dpub/bitstream/handle/123456789/20531/pulli.pdf?sequence=3

- kahdensadan henkilön allekirjoittamasta avoimesta kirjeestä

- erilaisista tilastoista, mm. Aatos Lahtisen julkaistut analyysit yo-kirjoituksista

- jne

edelleen näyttää löytyvän henkilöitä, joille on vaikeaa myöntää, että osaamistason laskeminen jatko-opintojen alussa on tosiasia ja aiheuttaa pahojakin ongelmia. En tiedä, mistä tämä päähänpinttymä ko. henkilöillä johtuu, ja mitä agendaa he sillä ajavat – enkä lähde sitä tässä enempää analysoimaan. Olisi paljon rehellisempää, jos he esimerkiksi sanoisivat:

”Onhan se taso laskenut, dramaattisestikin, mutta emme kuitenkaan hyväksy minkäänlaisia valtion normiohjaamia eriyttäviä opetusjärjestelyitä asiantilan korjaamiseksi.”

Näin pääsisimme vihdoin käsittelemään kunnolla ratkaisumallien periaatteita: koska ongelma on olemassa ja tunnustettu, nykyjärjestelmälle pitää tehdä jotain. Peruskouluideologia sen 70-lukulaisessa äärimuodossaan kuuluu menneisyyteen. Pitää uskaltaa elää nykyhetkeä – historiasta oppineena.

Insinööritäti • 5.2.2012 21:17 • #

Kentällä ollaan kaukana Kirsi Tirrin sanoista:
“Opettaja eriyttää opetusta eri ryhmien tarpeisiin sopivaksi. Edistyneet saavat erilaisia tehtäviä kuin asiaan vasta perehtyvät, ja monikulttuurisuus voi hyödyttää kaikkia oppilaita.”

Kysyessäni eriytystä (matematiikkaan) ilmoitettiin, että ala-asteella ei eriytetä. Onneksi pari tyttöä saavat laskea ja opiskella omaa lisämateriaalia tunneilla toistaiseksi. He ovat omasta innosta laskeneet jo kevätlukukauden lisätehtävät ja opiskelleet uudet asia. Osa opettajista kieltää itsenäisen eteenpäin menon jopa lisätehtävissä.

Yläasteella kaksi opettajaa on eriyttänyt (matematiikka & englanti) – kiitos heille. Molemmat totesivat, että nopeasti oppivan eriyttäminen on paljon työläämpää kuin hitaasti oppivien.
Osa opettajista ei jaksa eriyttää, mutta antaa oppilaan opiskella tunneilla itsenäisesti, jos hän siihen kykenee.

Joustavaa ryhmittelyäkin vastustetaan monissa yläasteissa.

Peruskouluihin tarjotaan turvaluokkapalvelua (Jari Koponen), joissa tavoitteena on poistaa toisia häiritsevä oppilas välittömästi luokasta siten, että hän joutuu systemaattisesti käsittelemään huono käytöksen seurauksia.
Yllättävästi on oppilaita, joista yläasteen opettajat eivät tiedä onko oppilas koulussa kirjoilla vai ei – ei vain ole näkynyt viikoihin.

Valitettavasti peruskoulun todellisuus on muuttunut sitten viime perusopetuksen opsin teon. Tämä on otettava huomioon uusia OPSeja laadittaessa niin motivoiduille kuin vähemmän koulusta motivoituneille.

markku halmetoja • 6.2.2012 10:32 • #

Heikki P.:
“eteneminen yksinkertaisimpiin differentiaaliyhtälöihin (y’ = a(x)y ja y’ + a(x)y = b(x)) on henkinen takaseinä; tästä on vaikea antaa periksi. Nämä yhtälöt sovelluksineen ovat keskeisessä asemassa esimerkiksi teknillisten alojen matematiikan opintojen alussa. Toinen samaan kategoriaan kuuluva asia on napakoordinaatit.”

En näe, että napakoordinaatiston ottaminen opetusohjelmaan mitenkään oleellisesti raskauttaisi oppimäärää varsinkaan siinä tapauksessa, että trigonometriaa lähestyttäisiin tavalla, jota kuvasin aikaisemmin tässä keskustelussa. Nykyopsiin niitä on mahdotonta liittää, kun koko trigonometria tulee oppilaalle yhdessä rysäyksessä. Noita diff.yhtälöitä olen harrastanut nykyisen 8. kurssin aikana; ne ovat luonnollinen sovellus logaritmin derivaatasta, derivoimissääntö on tässä helppo kääntää, vaikka integraaleista ei ole vielä puhuttu. Vielä helpompi, jos derivoinnin yhteydessä käsitellään kautta linjan käänteisoperaatiota.

Ytl:n laskinohjeen paljastuttua olin kuulevinani sellaisia hihkaisuja, että nyt voidaan perehtyä syvällisemmin matemaattiseen ajatteluun, kun mekaaninen laskenta ei enää rasita aivoja. Voisiko tämä merkitä sitä, että esim. induktio tulisi yhdeksi oppimäärän peruspilariksi, kuten Heikki tuolla yllä esittää? Vai onko olemassa jokin uusi hieno matematiikan alue (jota me menneisyyden henkilöt emme yksinkertaisuudessamme näe), johon keskittymällä oppilaat saavuttavat nykyistä paremman jatko-opiskeluvalmiuden?

Jani Kiviharju • 6.2.2012 19:46 • #

Lukiessa LUMA-keskusteluja tulee hyvinkin huolestunut olo oppilaiden mahdollisuuksista täällä esitellyssä koulujärjestelmässä. Miten ehdotuksessa esitetyt tasokokeet ja ryhmittely aiottaisiin toteuttaa? Jos todella pidetään valtakunnallinen tasokoe, jonka pisteiden mukaan oppilas siirretään tiettyyn ryhmään, muodostuu ryhmästä toiseen pääseminen väistämättä hankalaksi. Abstraktin ajattelun osalta muita hieman verkkaisemmin jossain vaiheessa kehittyvälle oppilaalle tulee äkkiä eteen tilanne, joka jo ennen murrosikää onnistuu rajaamaan häneltä tulevat matematiikan opinnot mahdollisuuksien ulkopuolelle, vaikka edellytyksiä ja kiinnostusta saattaisi myöhemmin löytyä. Tuohon syventävään ryhmään nousemisen mahdollisuuksiin on vaikea uskoa, jos lukukaudenkin ajan opiskelee eri oppimäärää. Myös koejännityksen tai muiden vastaavien tekijöiden merkitys voi nousta kohtuuttoman suureksi.

Pokela mainitsee alun esittelytekstissä, että sille osalle ikäluokkaa, jonka kiinnostus, kyvyt ja pitkäjänteisyys riittävät useiden vuosien työntekoon, ehdotuksen lopputuloksena pitäisi syntyä todellinen korkeakoulukelpoisuus, eli kyky aloittaa matemaattisluonnontieteellis-teknillistieteelliset opinnot. Onko 7. tai 8. luokkalaisen tarpeen jo pystyä valitsemaan matematiikka tai muu? Mielestäni ei. Pitkäjänteisyyden ja kyvykkyyden arvioinnin voi jättää myöhempään vaiheeseen ja keskittyä mieluummin sellaiseen eriyttämiseen, joka ei erottele tai pahimmillaan leimaa oppilaita perusopetuksen yhteydessä. Mieluummin joustavaa opetusryhmän sisäistä eriyttämistä (ja lisää tähän sopivia opettajien materiaaleja) ja lisäksi harrastusmahdollisuuksia, kannustusta ja innostusta, kuten kerhotoimintaa tai valinnaisia teemakursseja. Sosiaalisen ja yhteisöllisen median aikakaudella kerhotoiminnankaan ei tarvitse enää olla ajasta ja paikasta riippuvaista. Liian aikainen vaikeustason jyrkkä nousu saattaa karkottaa monia potentiaalisia matematiikan taitajia pysyvästi pois matematiikan opinnoista, kun opiskelematta ehdotuksen mukaista syventävää sisältöä kynnys tarttua matematiikkaan kasvaa hetki hetkeltä.

Heikki Pokela • 7.2.2012 15:51 • #

Kiitokset myös Jani Kiviharjulle kommenteista! On hyvä, että mahdollisimamn moni (opettaja)rohkaistuisi kirjoittamaan tänne.

Jani Kiviharju:

“Lukiessa LUMA-keskusteluja tulee hyvinkin huolestunut
olo oppilaiden mahdollisuuksista täällä esitellyssä koulujärjestelmässä.
…
Abstraktin ajattelun osalta muita hieman verkkaisemmin jossain vaiheessa kehittyvälle oppilaalle tulee äkkiä eteen tilanne, joka jo ennen murrosikää onnistuu rajaamaan häneltä tulevat matematiikan opinnot mahdollisuuksien ulkopuolelle,
vaikka edellytyksiä ja kiinnostusta saattaisi myöhemmin löytyä. Tuohon syventävään ryhmään nousemisen mahdollisuuksiin on vaikea uskoa, jos lukukaudenkin ajan opiskelee eri oppimäärää.”

Kiviharju esittää huolensa siitä, että erilainen OPS rajaisi mahdollisuuksia lyhyelläkin aikavälillä. Päivä päivältä, kuukausi kuukaudelta ryhmän vaihto olisi hänen mukaansa vaikeampaa.

Tekisi mieli kysyä Kiviharjulta, kuinka nykysysteemi huolehtii henkilökohtaisesti mukautettua OPSia vuoden tai pari käyneen yläkoululaisen takaisen normiOPSiin, jos syyt henk.koht OPSiin poistuvat ja lukuhaluja löytyisi ysin keväällä? Ja kuinka hyvin tässä onnistutaan – kun eroa muihin on omalla OPSilla kertynyt päivä päivältä, kuukausi kuukaudelta.

Edellä kuvattu tilanne ei näytä yleisesti ottaen huolestuttavan. Sen sijaan, jos vaikkapa kahdeksannen luokan keväällä ahkeruutensa ja kykynsä jo osoittaneille ruvettaisiin pikkuhiljaa joustavasti omassa ryhmässään opettamaan matematiikkaa kunnolla, tämä näköjään aiheuttaa vakavan huolen myöhemmin heräävien puolesta. Kuten näissä keskusteluissakin on mainittu, myös lyhyen matikan pohjilta voi ponnistaa korkealle. Kyllä niitä takaportteja tarjotaan.

On ilmiselvää, että nykyinen OPS on osalle ikäluokkaa liian vaikea. Toivottavasti tämän osan ikäluokasta jatko-opintoihin lähtö peruskoulusta miltei nollaosaamisella matikasta huolettaisi myös.

Tarvitaan heille sopivampi OPS. Lienee myös ilmiselvää, että se on osalle ikäluokkaa liian helppo. Tarvitaan siis vähintään kaksi eri OPSia.

Insinööritäti • 7.2.2012 20:54 • #

Käykääpä lukemassa koululaisen Siina Matihaldin ajatuksia otsikolla “Tasoluokista tehokkuutta”

“Oppilaat tarvitsevat yksilöllisempää opetusta. Tasapäistäminen historiaan!”

Lähde:
http://www.aamulehti.fi/Kotimaa/1194720648984/artikkeli/puheenaihe+koulussa+pitaisi+opettaa+stressinhallintaa+shakkia+ja+pomon+nuoleskelua.html

Heikki Pokela • 7.2.2012 21:02 • #

Jani Kiviharju:

”Onko 7. tai 8. luokkalaisen tarpeen jo pystyä valitsemaan matematiikka tai muu? Mielestäni ei. Pitkäjänteisyyden ja kyvykkyyden arvioinnin voi jättää myöhempään vaiheeseen…”

Seiskaluokkalainen valitsee tai jättää valitsematta kasille mennessään esimerkiksi C-saksan. Jos hän herää vasta lukion ykkösellä ottamaan sen, todennäköisesti hän on kielitaidon osalta heikommilla yo-kirjoitusvaiheessa ja hakiessa alan opintoihin kuin oppilas, joka on intoa puhkuen tankannut kieltä kasilta alkaen.

Pitäisikö mahdollisuus valita ylimääräisiä kieliä kahdeksannella siis poistaa kaikilta, jotta ei rajattaisi ketään näiden opintojen ulkopuolelle jo murrosiässä?

Monet huippujalkapalloilijat ovat aloittaneet kunnollisessa valmennuksessa jo ennen kymmenen vuoden ikää. 13-14-vuotiailla on selkeä tasoryhmäjako ja huippuryhmässä ei tarvi paljon laiskotella tai soittaa suutaan valmentajalle saadakseen passituksen ”alempiin” ryhmiin.

Mitäpä jos sopisimme, että kunnollinen jalkapallo(tai muun urheilu)valmennus aloitettaisiin aikaisintaan 16-vuotiaana, jottei keneltäkään rajattaisi mahdollisuuksia ryhtyä alan ammattilaisiksi, jos kiinnostus herää myöhemmin kuin kymmenvuotiaana? Liigan taso nousisi ja näkisimme maajoukkueen kahmivan mitaleita Brasilian nenän edestä.

Tarkoitus edellisillä urheiluesimerkeillä oli kertoa, kuinka eri sfääreissä ajattelumaailmat kulkevat koulutuksen osalta urhelun ja matikan välillä. Selvennykseksi vielä: en ole ajamassa jalkapallokäytäntöä peruskouluun.

Varsinaiseen kysymykseen eli pitäisikö 8. luokkalaisen osata valita matematiikka. Ei tietenkään, sillä matematiikka/laskento kuuluu automaattisesti kaikkien kasiluokkalaisten ohjelmaan. Toivottavasti koulussa myös opetetaan pitkäjänteiseen työhön ja edellytetään sitä kasiluokkalaiselta sopivassa mittasuhteessa. Omalla toiminnallaan kasiluokkalainen vaikuttaa siihen, millä annosmittarilla matikkaa hänelle tarjotaan.

Valtakunnalliset tasokokeet näyttävät pelottavan joitakuita. Todennäköisesti samat opettajat pelkäävät myös yo-kokeita. Ehdotin tasokokeita kaksi kappaletta. Ensimmäisen jälkeen seiskalla voisi hyvin harkita luokan sisäistä eriyttämistä, jotta saa paremmin tuntumaa tilanteeseen ennen toisen tasokokeen jälkeen viimeistään alkavaa ryhmäjakoa. Tasokokeet toimivat ryhmäjaon pohjana, mutta haluan toki säilyttää opettajalla joissain tapauksissa harkintavaltaa yhteisymmärryksessä huoltajan ja muiden asiaan liittyvien henkilöiden kanssa. Kuitenkin jos ryhmäjako herättää tasa-arvokysymyksiä oppilaiden (vanhempien) kesken, valtakunnalliseen kokeeseen nojataan viimekädessä. Se on parasta opettajan oikeusturvan ja riippumattomuuden kannalta.

Heikki Pokela • 7.2.2012 21:27 • #

Markku H.:

”Vai onko olemassa jokin uusi hieno matematiikan alue (jota me menneisyyden henkilöt emme yksinkertaisuudessamme näe), johon keskittymällä oppilaat saavuttavat nykyistä paremman jatko-opiskeluvalmiuden?”

Vastausta odotellessa kommentoisin keskittyneen harjoittelun ja päättelyn yhteispelistä. Esimerkiksi lukion ykkösluokkalaisille sopiva tehtävä:

= = = = = = =
Funktio f(x) toteuttaa kaikilla x:

f(29 + x) = f(29 – x),

ja yhtälöllä f(x) = 0 on täsmälleen kolme reaalijuurta. Määritä näiden juurten summa.
= = = = = = =

Edellinen tehtävä ratkeaa yhden rivin laskulla, mutta siihen liittyvät päättelyt vaativat pohjakseen näkemystä, joka karttuu vain harjoittelulla – ja aiemmilla päättelytehtävillä. Tehtävä tuskin ratkeaa symbolisten laskimien avulla. Ja lukion hyvä ykkösluokkalainen ratkoo tehtävän.

Maija Aksela • 8.2.2012 14:04 • #

Iloinen tervehdys!

On ollut ilo seurata aktiivista keskustelua matematikan opetuksesta, sen hyvistä kokemuksista ja haasteista.

Luin Dimension neuvottelukunnan jäsenenä innolla juuri saapuneen Dimension ja sen taas kerran hyvin mielenkiintoiset artikkelit. Lämmin kiitos niistä!

Mm. Hannu ja Sari olivat kirjoittaneet matematiikan opetuksen kehittämisestä mielenkiintoisen artikkelin.

Siinä tuodaan esille myös Valtakunnallinen LUMA-keskus, HY oppimismotivaation kohdalla. ks. http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/documents/thematic_reports/132EN.pdf

Olemme toki iloisia, että EU on huomioinut keskuksemme Summamutikka-keskuksen pitkäaikaisen ansiokkaan työn, mutta toki siellä olisi pitänyt mainita moni muukin tärkeä taho ja erityisesti teidät, opettajat. Meillä ei ole mitään tietoa, mistä alla olevan raportin tiedot ovat sinne tulleet (ei ainakaan meiltä!).

Iloa matematiikasta ja sen opetuksesta!

Lämpimästi tervetuloa tutustumaan Summamutikan toimintaan sekä 1. matematiikan opetuksen päivään 9.3 Kumpulan tiedekampukselle! Nähdään siellä!

“Se, joka tulee sydämestä, menee sydämeen!

Rinnallanne tukien, Maija ja LUMA-tiimi

Simo Kivelä • 11.2.2012 17:20 • #

Heikki Pokelan jossakin yläpuolella olevasta tehtävästä:

En malta olla kysymättä: Miksi juuri 29? Eikö 14 olisi parempi?

markku halmetoja • 11.2.2012 17:45 • #

Simo K. on oikeassa. Kuutonenkin kävisi, jos funktiolla olisi 7 nollakohtaa. :)

markku halmetoja • 12.2.2012 12:43 • #

Heikin tehtävästä johtui mieleen miettiä mahdollisimman yksinkertaista kysymystä, joka retkuttaisi symbolisen laskimen. Laskinta ei ole käsillä, mutta WolframAlpha on, ja sille yhtälö

abs(a-x) = abs(x-b)

on liikaa. Laskimiin on siis jatkossakin suhtauduttava varauksin. Hyvä renki mutta huonoisäntä.

Simo Kivelä • 12.2.2012 16:55 • #

Markku Halmetoja suhtautuu kovin negatiivisesti symbolisiin laskimiin. Minusta ne pitäisi pikemminkin nähdä haasteena opetusohjelmaa laadittaessa: tekniikan kehityksen tuomia laskentavälineitä, joilla voi tehdä paljon, mutta täydellisiä ne toki eivät ole. Ongelma onkin, miten niitä on järkevää käyttää matematiikan opiskelussa ja mikä on niiden vaikutus opetussuunnitelmaan. Tämä on haaste, joka on syytä ottaa vastaan.

Mitä Wolfram|Alpha-esimerkkiin tulee, niin minusta tuloksena on aivan oikea vastaus kaikenlaisen muun asiaan enemmän tai vähemmän liittyvän ohella. Syöte ‘solve abs(a-x) = abs(x-b) for real x’ antaa lyhyesti oikean vastauksen. Ongelmana Wolfram|Alphassa on, että ei ole oikein selvää, missä lukualueessa lasketaan.

Totta on, että laskimiin on suhtauduttava varauksin, kuten käsin laskemiseenkin. On hyvä esittää esimerkkejä, jotka osoittavat, että liikaa ei pidä luottaa. Kritiikki on tässäkin paikallaan. Olen vuosien kuluessa koonnut tällaisia esimerkkejä, mutta ne vanhenevat: Se mikä tämänhetkisessä versiossa tuottaa väärän tuloksen, saattaa seuraavassa versiossa jo toimia aivan oikein.

Heikki Pokela • 12.2.2012 16:59 • #

Tässä ehdotus kurssin MA6 sisällöksi.

= = = = = = = =

Yleistä: Yhdistetään nykyisen OPSin logiikka todennäköisyyskurssin alkuun. Tilaa tälle yhdistämiselle saadaan siirtämällä jatkuvien jakaumien käsittely integraalilaskennan yhteyteen. Koska nykyOPSin kurssilla MA11 logiikan yhteydessä tulevaa todistustekniikoiden esittelyä opetettaisiin jo aiemmilla kursseilla ja peruskoulussakin, logiikan yhdistäminen kurssiin MA6 ei olisi liian raskasta.

= = = = = = = = 1/5 kurssia

Logiikkaa. Lause, predikaattilogiikkaa, tautologia.
Todistusmenetelmien kertausta: suora- ja epäsuora todistus. Välttämätön ja riittävä ehto. Induktion käyttöä.

= = = = = = = = 1/5 kurssia

Joukko-oppia. Joukkojen laskutoimituksia.
Joukko-oppi todennäköisyyslaskennassa.
Tuloperiaate.
Kombinatoriikkaa: permutaatio ja kombinaatio.
Binomikaavan todistuksen kertaus induktiolla.

= = = = = = = = 2/5 kurssia

Todennäköisyyslaskentaa.
Komplementti, riippumattomuus ja monivaiheinen koe.
Ehdollinen todennäköisyys.
Binomitodennäköisyys.

= = = = = = = = 1/5 kurssia

Diskreettejä jakaumia. Näiden jakaumien arvojoukko voi olla myös ääretön, numeroituvasti.
Tunnuslukuja: odotusarvo, varianssi ja keskihajonta.

= = = = = = = = =

Kurssin MA6 keskeisin sisältö on mielestäni ehdollisen todennäköisyyden, komplementin kautta laskemisen, järjestyksen purkamisen (n yli k) ja binomitodennäköisyyden ymmärtäminen.

Kuvailevan tilastotieteen osuudesta tällä kurssilla en ole ihan varma. Tästä – ja tietysti kurssin kokonaisuudesta – pyytäisin teiltä kommentteja arvoisat palstan (todennäköisesti useat sadat) lukijat: mikä osuus kuvailevalle tilastotieteelle tulisi antaa?

Binomitodennäköisyyden ja normaalijakauman yhteys isoilla määrillä tapauksia olisi hyvä esitellä jo lukiossa. Myös Poisson-jakauman alkeet ja se, miten Poisson-jakauma kytkeytyy binomi- ja normaalijakaumiin, on lukiolaisen tasolla todistettava tulos – integraaliaskennan ja mm. neperin luvun raja-arvo-esitysten jälkeen.

Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan voitaisiin esittää kurssilla MA10 loppuosassa ja Poisson-jakauman (lyhyen esittelyn jälkeen) kytkös binomi- ja normaalijakaumiin ehkä kurssilla MA12 jonain vaativampana harjoitustehtävänä riippuen opetusajan riittävyydestä.

Poisson-jakaumasta on ollut tehtävä yo-kokeessa 2000k/8: http://matta.hut.fi/yoteht/k00p.pdf

markku halmetoja • 12.2.2012 17:36 • #

Simo K.: “Markku Halmetoja suhtautuu kovin negatiivisesti symbolisiin laskimiin.”

Suhtaudun niihin kriittisesti, mutta en täysin kielteisesti. Mielestäni kyllä lukiomatematiikkaan olisi riittänyt tavallinen graafinen laskin. Luulen, että sen kaikkia mahdollisuuksia ei ole hyödynnetty opiskelussa.

Simo K.: “Syöte ‘solve abs(a-x) = abs(x-b) for real x’ antaa lyhyesti oikean vastauksen.”

En minä ainakaan täysiä pisteitä antaisi WA:n ratkaisusta.

Heikki Pokela • 12.2.2012 18:24 • #

Simo Kivelä:

”Markku Halmetoja suhtautuu kovin negatiivisesti symbolisiin laskimiin. Minusta ne pitäisi pikemminkin nähdä haasteena opetusohjelmaa laadittaessa: tekniikan kehityksen tuomia laskentavälineitä, joilla voi tehdä paljon, mutta täydellisiä ne toki eivät ole. Ongelma onkin, miten niitä on järkevää käyttää matematiikan opiskelussa ja mikä on niiden vaikutus opetussuunnitelmaan. Tämä on haaste, joka on syytä ottaa vastaan.”

Laskentavälineiden tehokkuus on lisääntynyt huimasti ja tuskin kukaan meistä kiistää niiden merkitystä mm. numeerisessa simuloinnissa, jonka avulla voidaan vähentää vastaavien kalliiden laboratoriokoejärjestelyiden määrää.

Kaikilla osaamistasoilla laskentavälineisiin on suhtauduttava kriittisesti. Erityisen kriittisesti niihin on suhtauduttava oppimisvaiheissa, joissa oppija ei välttämättä vielä itse osaa eritellä yksityiskohtaisen oppimisen suhteen olennaisia asioita vähemmän olennaisista.

Peruskoulu, lukio ja alkuopinnot yliopistoissa ovat tällainen oppimisvaihe.

Nyt kun keskustelu etenee kurssikohtaisesti, niin tässähän on tilaisuus tuoda esille melko yksityiskohtaisestikin, mitä asioita, esimerkiksi juuri esillä olevasta todennäköisyyslaskennasta tai sitä seuraavista differentiaali- ja integraalilaskennan kurssien sisällöistä, voitaisiin harjoituttaa symbolisilla laskimilla ja mitä asioita olisi syytä käydä läpi enemmän perinteisin menetelmin. Myös käytettävissä oleva aika kursseilla on yksi rajoittava tekijä.

Matti Lehtinen • 12.2.2012 21:45 • #

Olen melko varma, että Heikki Pokelan ansiokas opetussuunnitelmaesitys ei juuri tule vaikuttamaan siihen, minkä tuleva korkeatasoisista asiantuntijoista koostuva toimikunta aikanaan julki saattaa. Uskottavahan se on, kun normaalikoulujenkin viisas opettajisto meille vakuuttaa aikojen muuttuneen ja niiden myötä sen, mitä “matematiikasta” voidaan nuorille kertoa.

Mutta onko meidän menneisyyden naisten ja miesten ihan vain antauduttava ajan aaltojen vietäviksi? Mieleeni tulee se kateus, joka usein julki lausutaan keskusteltaessa ns. lahjakkaiden opetuksesta. Miksi musiikki, miksi urheilu saa yhteiskunnalta erityiskohtelun? Ehkä tässä kuitenkin olisi yksi ratkaisu matematiikankin oppimiseen. Luovutaan suosiolla ajatuksesta, että matematiikkaa opetettaisiin yleissivistävissä kouluissa. Riittäköön laskento, onnelliseksi ja täysipainoiseksi ihmiseksi kasvattaminen ja henkilökohtaiset merkityksenantoprosessit (Korhonen & Yrjänäinen, Dimensio 1/2012) siellä. Se pienehkö vähemmistö, jolla on edellytyksiä matematiikan omaksumiseen ja jonka olemassaolo lienee jossain määrin yhteiskunnallekin tarpeellinen, saakoon opetuksensa vapaaehtoisesti, musiikkioppilaitosten malliin organisoiduissa matematiikkaopistoissa. Kun yhteiskunnan panostus koulun matematiikanopetukseen tulee näin meneteltäessä olennaisesti kevenemään, on varmaan mahdollista siirtää jonkin verran resursseja tähän uuteen järjestelmään. Toimisiko? Ajatellaan vielä musiikkioppilaitosanalogiaa. Taidemusiikki on väestön valtaosalle anathema ja maranatha, mutta kuitenkin tuhannet nuoret tekevät päivittäin ankaraa työtä oppiakseen sitä soittamaan. Tai urheilua. Tuhannet nuoret työskentelevät ankarasti aivan merkityksettömän päämäärän takia: saada vaikkapa pallon tai lieriön muotoinen esine kentällä määriteltyyn paikkaan. Ei matematiikka tällaisissa vertailussa häviäisi. Sekin palkitsee, joitakin ihan materiaalisesti.

markku halmetoja • 13.2.2012 18:14 • #

Matti Lehtisen ajatuksiin on helppo yhtyä. Tämä ops-keskustelu on silti tärkeää. Se osoittaa, että siihen, mikä on tuleva, “tää kansa ei tunge” yksimielisenä niinkuin talvisotaan.

Insinööritäti • 13.2.2012 21:34 • #

Ulkomaankaupan alijäämän korjaaminen suomalaisilla musiikki-/elokuvatallenteilla tai urheiluvälinein taitaa jäädä unelmaksi, vaikka unelmaan on investoitu vuosia. Sotakorvauksista saakka teknologiateollisuus on ollut ja on yhä ulkomaankaupan tukijalka, vaikka tukijalkaa on monin keinoin veistetty ohuemmaksi. Valitettavasti teknologiateollisuus ei elä pelkällä taiteella eikä urheilulla, vaikka niitäkin on kiva harrastaa.
Opsin tulee ottaa kantaa myös siihen, millä Suomi elää tulevaisuudessa.

markku halmetoja • 14.2.2012 10:57 • #

Insinööritäti: “Ulkomaankaupan alijäämän korjaaminen suomalaisilla musiikki-/elokuvatallenteilla tai urheiluvälinein taitaa jäädä unelmaksi, vaikka unelmaan on investoitu vuosia.”

On ikävää, että asialliseksi tarkoitettu keskustelu menee ilkeilyksi, mutta en voi olla lisäämättä tuohon unelmalistaan maamme erinomaiseksi kehitettyä peruskoulujärjestelmää, jota PISA-menestyksen siivittämänä pyritään nyt myymään ympäri maailmaa. Myyntiponnisteluissa jäänee vähemmälle huomiolle tuhannet syrjäytyneet nuoret, jotka eivät peruskoulussa ole 9 vuodessa oppineet kirjoittamaan järkeviä lauseita eivätkä suoriutumaan peruslaskutoimituksista. Ympäri maata lukioissa järjestettävät nollakurssit kielissä ja matematiikassa eivät nekään esiintyne myyntiesitteissä. Peruskoulussa on paljon hyvää, mutta sen opseissa ja opetuskäytännöissä on ongelmia, joita en jaksa tähän enää kirjoittaa. Nyt uuden tuntijaon ja opsin valmistelussa on vaarana, että koulujärjestelmän markkinoinnissa välttämätön PISA-menestys tulee sanelemaan opetuksen sisältöä entistä enemmän. Peruskoulun ops tultaneen alistamaan osaksi markkinakonetta ollenkaan välittämättä peruskoulun jälkeisten oppilaitosten tarpeista ja viimekädessä koko yhteiskunnan infrastruktuurin tarpeista. Vakavia viitteitä mainitsemastani vaarasta on luettavissa Dimension 1/2012 sivulta 17, jossa eräs kasvatusoppinut kaavailee vallankumousta matematiikan opetukseen. Tekstistä päätellen vallankumous ei tule edistämään perusalgebran ja geometrian sekä niiden välisten yhteyksien kirkastamista, vaan pikemminkin paistin koon arvioimiseen liittyvää silmämääräistä osaamista. MAOLin sivustolla olevassa eDimensiossa on laajempi kommenttini tästä kirjoituksesta.

Heikki Pokela • 19.2.2012 13:12 • #

Ehdotus kurssin MA7 sisällöksi.

Differentiaalilaskentaa.

Periaatteessa matemaattinen ymmärrys voitaisiin lukiossa pohjustaa myös ilman differentiaalilaskentaa algebran, geometrian, lukuteorian, todennäköisyyden ja kombinatoriikan avulla. Differentiaalilaskennan merkitys mm. teknis-luonnontieteellisten jatko-opintojen kannalta on kuitenkin huomattava. Tästä syystä differentiaalilaskenta on ehkä yksi keskeisimpiä aihealueita koulumatematiikassa, sillä muuten näinkin laajan aihealueen omaksumiseen riittävälle tasolle ei jäisi tarpeeksi aikaa yliopisto-opinnoissa – tai opinnot venyisivät.

Myös differentiaalilaskentaa itseään on pohjustettava. Raja-arvojen laskemisen intuitiivista ymmärrystä voidaan harjoittaa aiemmilla kursseilla esimerkiksi ympyrän pinta-alan ja kartion tilavuuksien laskukaavojen johtamisen yhteydessä. Näiden johtaminen on mahdollista, koska induktio on käytössä heti pitkän matematiikan alusta lähtien. Kts.
http://solmu.math.helsinki.fi/2012/2/induktio_ympyra_kartio_pallo.pdf

Derivaatta kertoo muutosnopeuden. Tämä on geometrisesti tulkittuna kulmakerroin, jonka lausekkeesta tulee
erotusosamäärä(n raja-arvo). Kulmakertoimien käsittely vaatii, että analyyttinen geometria on perusteiltaan ymmärretty, ja tässä kohden on oltava käyttörutiinina ilman muuta myös rationaalilausekkeiden käsittely. Nykyisen OPSin laatijat olettavat tämän vuosien hautumista edellyttävän oppimisprosessin tapahtuvan parissa viikossa.

Kun pohjaosaaminen on kunnossa, päästään kurssilla keskittymään varsinaiseen asiaan.

Derivointia pitää harjoitella riittävän paljon sekä erotusosamäärien raja-arvoilla että derivointikaavoilla. Tässä yhteydessä derivointikaavat perustellaan niin hyvin kuin se on lukiossa mahdollista. Erityisen olennaista on perustella potenssifunktion derivaatta, kun on kyseessä kokonaislukueksponentti. Mielestäni perustelu on tehtävä jopa useammalla tavalla:

1) suoraan induktiolla.
2) lausekkeen (x^n – z^n) jakamisella tekijöihin. Tässäkin pohjalla on induktio.
3) käyttämällä erotusosamäärässä muotoa f(x + h) ja aiemmin todistettua binomikaavaa.

Yhden edellisistä voisi jättää oppilaille kotitehtäväksi sopivilla vihjeillä.

Derivointien yhteydessä harjoitellaan myös integrointitekniikkaa soveltuvin osin. Polynomifunktioiden osalta tämä ei raskauta kurssia, mutta muissa tapauksissa aihetta lienee syytä lähestyä tällä kurssilla ennemminkin kokeilemalla ja arvaamalla kuin ottamalla esimerkiksi tulon derivaatan yhteydessä oppilaille vaikeahko osittaisintegrointi käyttöön.

MA7:

= = = = = = = = = = 20 % kurssista

Rationaalilausekkeiden käsittelyn kertaus. Raja-arvon käsite.
Raja-arvon ja jatkuvuus. Raja-arvo äärettömyydessä.
Raja-arvojen ominaisuuksia ja laskutekniikkaa.

= = = = = = = = = = 40 %

Derivaatta erotusosamäärän raja-arvona. Suosittelisin merkintää dy/dx. Väliarvolause geometrisesti.
Derivointisääntöjä. Integrointia.
Muutosnopeus, käyrän tangentti, normaali ja (fysikaalisia) sovelluksia.

= = = = = = = = = = 30 %

Funktion kulun tutkiminen väliarvolausetta soveltaen. Funktion arvojen approksimointia tangentin avulla. Newtonin menetelmä. Ääriarvoja, geometrisia ääriarvoja ja myös geometristen raja-arvojen esittelyä. Syventävänä aiheena funktion toisen derivaatan käyttöä ja toisen derivaatan testi.

= = = = = = = = = = = 10 %

Kahden muuttujan funktioihin tutustuminen.

Heikki Pokela • 19.2.2012 13:15 • #

Tässä ajatus MA8:lla eteen tulevaan tarkasteluun eksponenttifunktion suhteen.

Kurssilla MA1 on esitelty eksponenttifunktio. MA8:lla eksponenttifunktion ominaisuuksia kerrattaessa voitaisiin harjoittaa määritelmistä lähtevää todistustekniikkaa. Määritellään yleinen eksponenttifunktio E(x):

1) E(x) on määritelty kaikilla reaaliluvuilla x.

2) E(0) ei ole nolla.

3) E on jatkuva origossa.

4) E(x + y) = E(x)E(y) kaikilla reaalisilla x ja y.

Nyt lukiolainen voi todistaa, tai ainakin ymmärtää todistuksen, miksi

a) E(x) > 0 kaikilla x.

b) E(0) = 1.

c) E on jatkuva.

d) Jos x on rationaaliluku, niin E(x) määräytyy yksikäsitteisesti luvusta E(1) = b ja E(x) = b^x.

Edettäessä eksponenttifunktion derivaattaan, täytyy (lukiotasoisesti) tutkia derivaatan olemassolo kohdassa nolla. Tämän jälkeen lukiolainen voi todistaa eksponenttifunktion derivoituvaksi kaikkialla. Logaritmifunktion derivaattaan päästään käänteisfunktio-ominaisuuksilla.

Merja Vihtilä • 20.2.2012 12:03 • #

Olen seurannut mielenkiinnolla tätä keskustelua, joka lähti liikkeelle ehdotelmasta lukion pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi niille, jotka jatkavat opintojaan matemaattis-luonnontieteellisten tai teknisten opintojen parissa. Opetussuunnitelma saattaisi ollakin onnistunut, mutta vain hyvin pienelle joukolle lukiolaisia.

Mielestäni perusopetuksen ja lukion matematiikan opetussuunnitelmaa kannattaisi lähestyä siitä suunnasta, että suurin osa opiskelijoista päätyy opiskelemaan jollekin ei-matemaattiselle alalle. Heille peruskoulu (ja mahdollisesti lukio) antaa kaikki ne matematiikan tiedot ja taidot, joiden varaan opiskelu ja työelämä pitää perustaa. Tämän takia on tärkeää, että seuraavaa opetussuunnitelmaa laadittaessa mietitään tarkoin, mitä tarkoittaa matematiikan osaaminen 2000-luvulla ja mitkä ovat ne käsitteet ja menetelmät, joilla matematiikan opetus voisi antaa valmiuksia jatko-opintoihin ja työelämään. Onko matematiikan osaaminen sitä, että osaa ratkaista pieniä, suljettuja tehtäviä aiemmin opetetuilla menetelmillä? Katsokaapa matematiikan oppikirjoja, löytyykö niistä muuta, kuin tehtäviä, joiden vastaus on luku!

Me tämän palstan lukijat ja kirjoittajat näemme matematiikan luovuutta vaativana oppiaineena. Suurimmalle osalle koulumatematiikasta on kuitenkin jäänyt aivan toisenlainen käsitys. Sen takia matematiikan opetus tarvitsisi väljyyttä, jotta voitaisiin käyttää aikaa kokeileviin ja keksiviin, toiminnallisiin opetusmenetelmiin, myös lukion pitkässä matematiikassa. Tällä vastattaisiin osaltaan myös perusopetuksen ja lukion eriyttämisen ongelmiin. En väitä, etteikö matematiikan opiskelu vaatisi pitkäjänteistä työtä, mutta me emme enää kouluta nuoria yksitoikkoiseen teollisuustyöhön. Sivutolkulla samanlaisena toistuvat, drillaavat laskutekniikkaharjoitukset olivat omiaan menneinä vuosikymmeninä. Nykyaikana on vaikea perustella nuorelle, että jos hän menestyy hyvin ja oppii helposti, niin hänelle tarjotaan vain sitä samaa kuin muillekin, mutta enemmän ja vaikeampaa.

Kuten Maija Aksela tuolla aikaisemmin kirjoitti, kannattaa lukea Dimension 1/2012 artikkeli (kirjoittajat Sari Yrjänäinen ja Hannu Korhonen) sekä lisäksi artikkelista eDimensiossa oleva keskustelu. Kirjoituksessa esitetty ajattelu ei vaaranna matematiikan opetusta. Se muuttaa matematiikan opetusta perusteellisesti.

Monet kirjoittajat muistelivat tuolla aiemmin menneitä, joten muistelen minäkin. Olen käynyt peruskoulun 1970-luvulla, joukko-opin kulta-aikaan. Olen välttynyt aksiomaattisen geometrian opetukselta, mutta sen sijaan oppinut jo peruskoulussa, mitä tarkoittavat injektio, surjektio ja bijektio. Olisiko aika nyt kypsä, että pystyisimme katsomaan, mitä hyvää oli tuossa matematiikan opetuksen isossa mullistuksessa? Ainakin siltä osin, että kuinka välttää ne virheet, jotka silloin tehtiin, kun matematiikan opetuksen rakenteisiin koskettiin voimakkaasti.

Olen todella iloinen, että matematiikan opetussuunnitelmakeskustelu on lähtenyt liikkeelle. Suvaitkaamme monenlaisia mielipiteitä!

Heikki Pokela • 20.2.2012 17:22 • #

Kiitokset myös Merja Vihtilälle kommenteista!

Vihtilä:

“Opetussuunnitelma saattaisi ollakin onnistunut, mutta vain hyvin pienelle joukolle lukiolaisia.
….
Mielestäni perusopetuksen ja lukion matematiikan opetussuunnitelmaa kannattaisi lähestyä siitä suunnasta, että suurin osa opiskelijoista päätyy opiskelemaan jollekin ei-matemaattiselle alalle. Heille peruskoulu (ja mahdollisesti lukio) antaa kaikki ne matematiikan tiedot ja taidot, joiden varaan opiskelu ja työelämä pitää perustaa. Tämän takia on tärkeää, että seuraavaa opetussuunnitelmaa laadittaessa mietitään tarkoin, mitä tarkoittaa matematiikan osaaminen 2000-luvulla ja mitkä ovat ne käsitteet ja menetelmät, joilla matematiikan opetus voisi antaa valmiuksia jatko-opintoihin ja työelämään.”

Lukiossa on jako pitkään ja lyhyeen matikkaan. Haluaako Vihtilä esittää, että myös pitkän matematiikan opetussuunnitelmaa – joka on ollut tässä keskustelussa teemana – lähestyttäisiin niiden oppilaiden näkökulmasta, jotka eivät lähde matemaattisille aloille jatko-opintoihin? Eli siis pitkän matematiikan OPSia määrittäisi enemmän tulevan ruotsin kielen lehtorin tarpeet matematiikan osaamisen suhteen kuin tulevan diplomi/amk-insinöörin?

Eihän se näin voi olla.

Pitkän matematiikan prioriteetti nro 1 on jatko-opintovalmiudet niille muutamille tuhansille oppilaille, jotka lähtevät (edes jossain määrin) matemaattisille aloille. Muille, jotka suorittavat pitkän matikan vaikkapa uutteralla työllä seiskan arvoisesti, mutta eivät lähde jatko-opintoihin matemaattisille aloille, pitkä matematiikka antaa kuitenkin ihan hyvän pohjan oppia elämässä vastaantulevia matemaattista (luku)taitoa edellyttäviä kuvaajia ja tietokoneohjelmistoja.

Jos Vihtilä tarkoitti kommentillaan lyhyttä matematiikkaa, niin siinä olen samaa mieltä. Lyhyessä matikassa lähtökohtahan on nimenomaan ei-matemaattisille aloille lähtevien oppilaiden tarpeet. Mutta niinhän se on ollut tähänkin saakka.

Vihtilä:

“Onko matematiikan osaaminen sitä, että osaa ratkaista pieniä, suljettuja tehtäviä aiemmin opetetuilla menetelmillä?”

Työelämässä matemaattisilla aloilla eteen tulevien ongelmien avoimuusaste voi olla aika suuri. Mutta näidenkin ongelmien kanssa käytetään menetelmiä, joiden alkeita on ensin opittu yksinkertaisissa, suljetuissa tehtävissä.

Vihtilä:

“Katsokaapa matematiikan oppikirjoja, löytyykö niistä muuta, kuin tehtäviä, joiden vastaus on luku!”

Kyllä nykyäänkin lukion pitkän matematiikan kirjoista löytää esimerkiksi todistustehtäviä – ja sitä paitsi sellaisten tehtävien rooliahan olen juuri korostanut OPS-ehdotuksessa.

Vihtilä:

“Me tämän palstan lukijat ja kirjoittajat näemme matematiikan luovuutta vaativana oppiaineena. Suurimmalle osalle koulumatematiikasta on kuitenkin jäänyt aivan toisenlainen käsitys. Sen takia matematiikan opetus tarvitsisi väljyyttä, jotta voitaisiin käyttää aikaa kokeileviin ja keksiviin, toiminnallisiin opetusmenetelmiin, myös lukion pitkässä matematiikassa.”

Voisitko, Merja Vihtilä, avata tätä ideaa esittelemällä joitain yksityiskohtia näistä väljistä, kokeilevista, kekseliäistä ja toiminnallisista menetelmistä nimenomaan pitkässä matematiikassa – ja vielä jos viitsit, kertoa menetelmien sijoittamisesta kursseihin ja millainen olisi ajankäytön panostus niihin?

Edellisen lisäksi olisi hienoa, jos saisimme tänne esimerkkejä tehtävätyypeistä, joita viljeltäisiin tulevaisuuden matikan oppitunneilla, siis sellaisia luovia, avoimia ja symbolisilla laskimilla opittavia tehtäviä, jotka valmistaisivat oppilasta nykyistä paremmin kohtaamaan tulevaisuuden osaamis- ja sivistystarpeita.

Vihtilä:

“Olen todella iloinen, että matematiikan opetussuunnitelmakeskustelu on lähtenyt liikkeelle. Suvaitkaamme monenlaisia mielipiteitä!”

Juuri näin! Tästä tulikin mieleen, että olisi hyvä, jos esimerkiksi Maolin kevätkoulutuspäivillä Tampereella järjestettäisiin pajamuotoinen keskustelu tulevan OPSin sisällöistä. Katsoin koulutuspäivien ohjelmaoppaasta, että vastaavanlainen paja järjestetään tietotekniikan OPSista

markku halmetoja • 20.2.2012 19:30 • #

Merja Vihtilä siis ilmoittautuu Maija Akselan rinnalle tukemaan Hannu Korhosen ja Sari Yrjänäisen kaavailemaa matematiikan kouluopetuksen vallankumousta. Sen tulevasta annista tosin ei kukaan näy tietävän mitään täsmällistä muuta kuin että se on kehitteillä ja tulossa. Ajattelin siksi koota jonkinlaista palapelin tapaista tulevasta toiminnasta. Se perustuu näissä keskusteluissa nähtyihin kommentteihin. Toivon vilpittömästi olevani väärässä näiden arvausteni kanssa.

Tulevat matematiikan tehtävät ovat ilmeisesti sanallisia kertomuksia, joissa luodaan jokin ongelmatilanne, josta annetaan numeeristä tietoa taulukon muodossa tai graafisena esityksenä. Oppilas siirtää taulukossa annetun datan laskimeensa, sovittaa, tai antaa laskimen tehdä sen, jonkin käyrän kuvaamaan dataa ja tämän käyrän avulla annetaan laskimen tuottaa dataan liittyviä tuloksia. Joitakin tehtäviä puolestaan lähestytään valikoimalla MAOLin keltaisesta kaavakokoelmasta sopiva kaava (jonka sisältöä ei ymmärretä, jota ei osata johtaa, mutta sillä ei nykypäivänä ole väliä), syötetään se laskimeen tehtävässä annetun datan kanssa ja katsotaan ruudulta tulokset. Laskin ja kaavakokoelma tulevat siis olemaan vallankumouksen tärkeimmät instrumentit.

Tämän tyyppisen “matematiikan” vastapainoksi olen kirjoittanut pari juttua Solmuun:
http://solmu.math.helsinki.fi/2012/1/trigonometriaa.pdf
ja
http://solmu.math.helsinki.fi/2012/2/induktio_ympyra_kartio_pallo.pdf
Niistä näkyy suunnilleen, mitä “menneisyyden haikailijat” edellyttävät koulumatematiikalta. Emme halua drillejä sen enempää kuin mitä perusteiden oppiminen edellyttää. Ainakin yhdessä markkinoilla olevista lukion oppikirjoista tehtävinä on runsaasti myös “Osoita-” ja “Todista”-sanoilla alkavia kysymyksiä. Ja juuri tätä, matematiikan syvintä olemusta, kaipaamme lisää kouluun. Vaikka koulumatematiikka ei voi olla tiedettä sanan varsinaisessa merkityksessä, siitä on kuitenkin välityttävä käsitys matematiikasta tieteenä. Se ei onnistu puolivillaisia sovelluksia tutkimalla.

Jorma Merikoski • 20.2.2012 22:19 • #

Vihtilä: “Onko matematiikan osaaminen sitä, että osaa ratkaista pieniä, suljettuja tehtäviä aiemmin opetetuilla menetelmillä?”

Tietenkään ei ole, mutta “vanhan liiton miehenä” sanoisin, että ilman tällaista harjoittelua oikea matematiikan taito jää saavuttamatta. Matematiikkaan ei ole vieläkään “kuningastietä” enkä usko, että mikään “vallankumous” (Dimensio 1/2012, s. 17) tulee sellaista avaamaan.

Merja Vihtilä • 21.2.2012 11:08 • #

Vastaan tässä minulle edellä esitettyihin kysymyksiin.

Lukion pitkän matematiikan opiskelun pitää antaa pohja mihin tahansa jatko-opintoihin. Vuoden 2003 lukion opetussuunnitelman perusteissa sanotaan: ” Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa.” Maininta jatko-opintoaloista on poistettu. Totta kai pitkän matematiikan opiskelleen pitää pystyä aloittamaan matemaattis-luonnontieteellisen tai teknisen alan opinnot. Oman kokemukseni mukaan usein juuri ne laudaturin tai eximian pitkästä matematiikasta kirjoittaneet yleislahjakkuudet hakeutuvat ihan muiden alojen opintoihin, ja niistä keskitason opiskelijoista tulee ammattikorkeakoulun teknisten alojen opiskelijoita.

Ylioppilaskokeessa mitataan matematiikan osaamista pienillä, suljetuilla tehtävillä. Tehtävät ovat jopa viime aikoina pienentyneet ja tulleet entistä osoittelevammiksi. Tämä mittaa hyvin kapea-alaista matematiikan osaamista. Sama kaava toistuu matematiikan oppikirjoissa, vaikka niissä jonkin verran on myös osoitustehtäviä. Osoitustehtävissäkin on yleensä se oikea menetelmä olemassa ja tunnettu. Lyhyen matematiikan oppikirjoista löytyy useita esimerkkejä laajemmista tutkimustehtävistä, mutta pitkän matematiikan oppikirjoista niitä ei juuri löydy.

Otan tässä pari konkreettista esimerkkiä avoimemmista tehtävistä. Näissä ei varmasti ole mitään sinänsä uutta tai omaperäistä. Moni muukin on niitä käyttänyt opetuksessaan. Näkisinkin tämänkaltaisten tehtävien olevan samanlainen opetusmenetelmän muutos, kuin luonnontieteiden kohdalla on ollut kokeellisuuden käyttöönotto opetuksessa. Toisen asteen polynomifunktion f(x)=ax^2+bx+c parametrien merkityksen tutkiminen käyttäen apuna graafista laskinta tai Geogebraa. Tutkimus tehdään ryhmätyönä ja siitä kirjoitetaan työselostus. Aikaa tähän menee helposti 2 × 45 minuuttia. Toinen esimerkki on lyhyen matematiikan puolelta, mutta toteuttaisin tämän erittäin mielelläni myös pitkän matematiikan opetuksessa. Kurssilla MAB5 Tilastot ja todennäköisyys opetan tilastomenetelmien osuuden (noin puolet kurssista) tilastotyön avulla. Opiskelijat suunnittelevat ja toteuttavat pienimuotoisen kyselytutkimuksen haluamastaan aiheesta 2-3 hengen ryhmissä. Aineiston käsittelyn yhteydessä opitaan keskeiset tilastolliset tunnusluvut ja tilastotiedon esittämistavat. Tämän oman aineiston käsittely tehdään käyttäen taulukkolaskentaohjelmaa ja siitä tehdään tekstinkäsittelyohjelmalla tutkimusraportti, jossa tulokset esitellään. Kurssin lopuksi pidetään seminaari, jossa jokainen ryhmä esittelee oman työnsä. Erityisen hyvänä tässä toteutustavassa pidän opiskelijoiden intoa tehdä omaa tutkimusta. Kaikki pääsevät mukaan, heikommallekin laskijalle riittää tekemistä ja hyvät laskijat tekevät oikein kunnianhimoisia töitä.

Lopuksi otan tässä esille yhden ison ongelman, joka liittyy enemmänkin opetuksen järjestelyihin nykylukiossa kuin opetussuunnitelmaan. Oppiaineet on jaettu kursseihin ja opetus jaksotettu. Meillä on käytössä kuusijaksojärjestelmä. Jaksot eivät ole aivan samanmittaisia, syksyn kolme jaksoa ovat aina lyhyempiä kuin kevään kolme. Eri jaksoissa voi arkipyhien ja koulun yhteisten tapahtumien takia kurssille käytössä oleva tuntimäärä vaihdella jopa välillä 22 × 45 min – 36 × 45 min, jonka lisäksi on koe. Tuosta voi jokainen päätellä, että opiskelijat ovat hyvin eriarvoisessa asemassa, jos vaikkapa derivaatta-kurssi osuu osalla jaksoon, jossa tunteja on hyvin niukasti ja toisilla jaksoon, jossa tunteja on paljon. Tämän takia kurssien sisällöt pitäisi suunnitella niin väljiksi, että keskeiset asiat pystyy oppimaan lyhyimmässäkin ajassa.

Hyvää palindromipäivän 21022012 jatkoa!

Heikki Pokela • 22.2.2012 16:44 • #

Kiitokset Vihtilälle kommenteista ja erityisesti muutamien ideoiden avaamisesta!

Aluksi Vihtilä pyörittelee opsiin kirjattuja – tai rivien välissä olevia – periaatteita:

”Lukion pitkän matematiikan opiskelun pitää antaa pohja mihin tahansa jatko-opintoihin. Vuoden 2003 lukion opetussuunnitelman perusteissa sanotaan: ” Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa.” Maininta jatko-opintoaloista on poistettu.”

Mutta päätyy lopulta mielestäni loogisesti oikeaan lopputulokseen:

”Totta kai pitkän matematiikan opiskelleen pitää pystyä aloittamaan matemaattisluonnontieteellisen tai teknisen alan opinnot.”

Tästä olemme samaa mieltä, ja ilmeisesti samaa mieltä myös siitä, että nythän yllä mainittu ei tahdo pitää paikkaansa. Ja näin ollen myös lausahdus:

”Lukion pitkän matematiikan opiskelun pitää antaa pohja mihin tahansa jatko-opintoihin.”

ei valitettavasti toteudu. Tätä pohjan hataroitumista olen itse todistanut tkk:lla tuntiopettajana alkaen vuodesta -97 ja harjoittanut pohjan luontia samanaikaisesti myös lukiossa reilut kuusi vuotta tähän mennessä. Jos jollakulla on mielestään parempi – ja päinvastainen – tieto aiheesta, niin lukisin mielelläni hänen perustelunsa siitä, miksi pohja jatko-opintoihin on ihan kunnossa, noin keskimäärin.

Vihtilä:

”Oman kokemukseni mukaan usein juuri ne laudaturin tai eximian pitkästä matematiikasta kirjoittaneet yleislahjakkuudet hakeutuvat ihan muiden alojen opintoihin…”

Toivottavasti tulkitsen väärin, että Vihtilä haluaa sanoa: ”kun ne lahjakkaat kumminkin menevät muille kuin matemaattisille aloille yliopisto-opintoihin, ei OPSia pidä laatia juurikaan siitä
näkökulmasta, että pitkä matematiikka tähtäisi matemaattisten alojen yliopisto-opintoihin.”

Jos näin, niin mielestäni tässä on vaaransa. Jos irrotamme pitkän matikan OPSin paaluttamisen alan (yliopistotasoisilla) jatko-opintovalmiuksilla, samalla todennäköisesti loputkin koulumatematiikan eksaktiudesta katoaa. Lahjakkaat näkevät matematiikan pelkkänä kaavakokoelmana ja excellin käyttö-ohjeena – ja eivät siten innostu alan opinnoista. Olisiko tässä yksi syy jo nykytilanteessa Vihtilän mainitsemaan kokemukseen yleislahjakkaiden hakeutumisesta muille aloille? Lisäksi kuilu korkeakoulun ja lukion välillä kasvaisi. Tätä aukkoa lähtisivät paikkaamaan yksityiset valmennusfirmat entistä suuremman tarpeen vuoksi. Myös suuremmilla hinnoilla. Tätä tuskin haluamme. Pelkään pahoin, että jos emme tee nyt matematiikan opetusjärjestelyille mitään järkevää remonttia, todellisuus ajaa meistä ohi ja jäämme historian lehdille pölyttymään. Hyvinvointivaltion repeytyessä on sitten jo melko myöhäistä hellävaraisille korjausliikkeille.

Lisäksi en jaa Vihtilän kokemusta yleislahjakkaiden jatko-opintoihin suuntautumisesta. Omassa lukiossani iso osa erinomaisesti (matematiikan ja fysiikan) kirjoittaneista lukee mielellään lisäkursseja differentiaaliyhtälöistä yms ja heistä noin 25-30 vuosittain lähtee tkk:lle. Tkk:lla olen mielenkiinnolla seurannut, miten he saavat ratkottua ensimmäisten välikokeiden tehtäviä. Ja tästä kokemus on, että sellaisilla oppilailla on iso etu, jotka ovat päässeet harjoittelemaan kunnolla matikkaa jo aiemmin (mm. tässä keskustelussa esittämiäni napakoordinaatteja ja diff. yhtälöitä). Muilla on vaikeuksia ja en käsitä, miksi yhteiskunta sallii tämän tapahtua; asia olisi korjattavissa ehdotetulla OPSilla. Kaikki eivät kykene sen mukaista opetusta omaksumaan, mutta niin ei tapahdu nytkään, ja luultavasti ehdotettu OPS toisi heillekin hieman kirkkaamman kuvan matematiikasta.

Vihtilä:

”Otan tässä pari konkreettista esimerkkiä avoimemmista tehtävistä.”

Ihan ok tämä vaikuttaa. Itse teettäisin tuollaisen enemmän oppituntien ulkopuolisena oppilastyönä ja max 1 kpl per kurssi. Jos näitä olisi kurssilla enemmän, tässä lähestyttäisiin niitä ongelmia, joista on puhuttu Peuran opetuskokeilun yhteydessä.
Jos Vihtilän kuvaamia tehtäviä olisi se yksi per kurssi, tämä olisi mukava lisä oppimisprosessiin, mutta ei se mielestäni tuo mitään ”vallankumousta”, jota Yrjänäinen on ehdottanut Dimensiossa.

Jos taas Vihtilä haluaisi, että tällaiselle opetustavalle käytettäisiin enemmän aikaa kursseilla, se olisi mielestäni askel huonompaan suuntaan, tai oikeastaan monta askelta, ja se olisi juuri sitä, mitä tässä on hieman pelätty.

Lopuksi haluan vielä kiittää Vihtilää siitä, että hän taitaa olla ensimmäinen kommentoija, joka on kertonut ”uuden opetustavan” ideoiden sisältöä konkreettisesti.

Kirjoita viesti

Nimi tai nimimerkki

Sähköpostiosoite (ei näytetä)

Viesti

Viesti on esikatseltava ennen lähettämistä.

   Info

Viimeisimmät kommentit

LUMA-klubi Luova Jippo MyScience EJYSE